Номер 126, страница 47 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 7. Числовые неравенства. Глава 2. Неравенства - номер 126, страница 47.

Условие.

126. Доказать, что при любых значениях $a$ верно неравенство:

1) $a^2 > (a+1)(a-1)$;

2) $(a+2)(a+4) > (a+1)(a+5)$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Для доказательства неравенства $a^2 > (a+1)(a-1)$ преобразуем его правую часть. Согласно формуле разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$, имеем:
$(a+1)(a-1) = a^2 - 1^2 = a^2 - 1$.
Подставим полученное выражение в исходное неравенство:
$a^2 > a^2 - 1$.
Вычтем из обеих частей неравенства слагаемое $a^2$:
$0 > -1$.
Так как неравенство $0 > -1$ является верным и не зависит от переменной $a$, а все преобразования были равносильными, то исходное неравенство $a^2 > (a+1)(a-1)$ также верно при любых значениях $a$. Что и требовалось доказать.
Ответ: Неравенство $a^2 > (a+1)(a-1)$ верно при любых значениях $a$.

2) Для доказательства неравенства $(a+2)(a+4) > (a+1)(a+5)$ раскроем скобки в обеих его частях.
Преобразуем левую часть: $(a+2)(a+4) = a^2 + 4a + 2a + 8 = a^2 + 6a + 8$.
Преобразуем правую часть: $(a+1)(a+5) = a^2 + 5a + a + 5 = a^2 + 6a + 5$.
Теперь неравенство имеет вид:
$a^2 + 6a + 8 > a^2 + 6a + 5$.
Вычтем из обеих частей неравенства общее выражение $(a^2 + 6a)$:
$8 > 5$.
Так как неравенство $8 > 5$ является верным и не зависит от переменной $a$, а все преобразования были равносильными, то исходное неравенство $(a+2)(a+4) > (a+1)(a+5)$ также верно при любых значениях $a$. Что и требовалось доказать.
Ответ: Неравенство $(a+2)(a+4) > (a+1)(a+5)$ верно при любых значениях $a$.