Номер 128, страница 47 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 7. Числовые неравенства. Глава 2. Неравенства - номер 128, страница 47.

Условие.

128. Доказать, что при любых значениях $a$ верно неравенство:

1) $a^3 < (a+1)(a^2 - a + 1)$;

2) $(a+7)(a+1) < (a+2)(a+6)$;

3) $1 + (3a+1)^2 > (1+2a)(1+4a)$;

4) $(3a-2)(a+2) < (1+2a)^2$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Чтобы доказать неравенство $a^3 < (a+1)(a^2 - a + 1)$, преобразуем его правую часть.
Выражение в правой части является формулой суммы кубов: $(x+y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3$.
Применив эту формулу для $x=a$ и $y=1$, получим:
$(a+1)(a^2 - a + 1) = a^3 + 1^3 = a^3 + 1$.
Теперь исходное неравенство можно переписать в виде:
$a^3 < a^3 + 1$.
Перенесем $a^3$ из левой части в правую (или вычтем $a^3$ из обеих частей):
$0 < a^3 + 1 - a^3$
$0 < 1$.
Это неравенство является верным. Следовательно, и исходное неравенство верно при любых значениях $a$.
Ответ: Неравенство доказано, так как оно сводится к верному неравенству $0 < 1$.

2) Чтобы доказать неравенство $(a+7)(a+1) < (a+2)(a+6)$, раскроем скобки в обеих его частях.
Левая часть:
$(a+7)(a+1) = a \cdot a + a \cdot 1 + 7 \cdot a + 7 \cdot 1 = a^2 + a + 7a + 7 = a^2 + 8a + 7$.
Правая часть:
$(a+2)(a+6) = a \cdot a + a \cdot 6 + 2 \cdot a + 2 \cdot 6 = a^2 + 6a + 2a + 12 = a^2 + 8a + 12$.
Подставим полученные выражения в исходное неравенство:
$a^2 + 8a + 7 < a^2 + 8a + 12$.
Перенесем все члены в левую часть:
$(a^2 + 8a + 7) - (a^2 + 8a + 12) < 0$
$a^2 + 8a + 7 - a^2 - 8a - 12 < 0$
$-5 < 0$.
Это неравенство является верным. Значит, и исходное неравенство верно при любых значениях $a$.
Ответ: Неравенство доказано, так как оно сводится к верному неравенству $-5 < 0$.

3) Чтобы доказать неравенство $1 + (3a+1)^2 > (1+2a)(1+4a)$, раскроем скобки и упростим обе части.
Левая часть, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$:
$1 + (3a+1)^2 = 1 + ((3a)^2 + 2 \cdot 3a \cdot 1 + 1^2) = 1 + (9a^2 + 6a + 1) = 9a^2 + 6a + 2$.
Правая часть:
$(1+2a)(1+4a) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 4a + 2a \cdot 1 + 2a \cdot 4a = 1 + 4a + 2a + 8a^2 = 8a^2 + 6a + 1$.
Неравенство принимает вид:
$9a^2 + 6a + 2 > 8a^2 + 6a + 1$.
Перенесем все члены из правой части в левую:
$(9a^2 + 6a + 2) - (8a^2 + 6a + 1) > 0$
$9a^2 + 6a + 2 - 8a^2 - 6a - 1 > 0$
$a^2 + 1 > 0$.
Выражение $a^2$ всегда неотрицательно для любого действительного значения $a$, то есть $a^2 \ge 0$.
Следовательно, $a^2 + 1 \ge 0 + 1$, то есть $a^2 + 1 \ge 1$. Так как $1 > 0$, то и $a^2 + 1$ всегда больше нуля.
Ответ: Неравенство доказано, так как $a^2+1$ всегда положительно при любом значении $a$.

4) Чтобы доказать неравенство $(3a-2)(a+2) < (1+2a)^2$, преобразуем обе его части.
Левая часть:
$(3a-2)(a+2) = 3a \cdot a + 3a \cdot 2 - 2 \cdot a - 2 \cdot 2 = 3a^2 + 6a - 2a - 4 = 3a^2 + 4a - 4$.
Правая часть, используя формулу квадрата суммы:
$(1+2a)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 2a + (2a)^2 = 1 + 4a + 4a^2$.
Подставим полученные выражения в неравенство:
$3a^2 + 4a - 4 < 4a^2 + 4a + 1$.
Перенесем все члены в правую часть для удобства:
$0 < (4a^2 + 4a + 1) - (3a^2 + 4a - 4)$
$0 < 4a^2 + 4a + 1 - 3a^2 - 4a + 4$
$0 < a^2 + 5$.
Так как $a^2 \ge 0$ для любых значений $a$, то $a^2 + 5 \ge 0 + 5$, то есть $a^2 + 5 \ge 5$.
Поскольку $5 > 0$, то и $a^2 + 5$ всегда больше нуля. Таким образом, неравенство $0 < a^2 + 5$ всегда верно.
Ответ: Неравенство доказано, так как $a^2+5$ всегда положительно при любом значении $a$.