Номер 1, страница 50 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 8. Основные свойства числовых неравенств. Глава 2. Неравенства - номер 1, страница 50.

Условие.

1. Как с помощью точек координатной прямой можно проиллюстрировать теорему 1?

Решение 3.

Решение 4.

Поскольку формулировка теоремы 1 не приведена, будем полагать, что речь идет об основной теореме, связанной с точками на координатной прямой, а именно о вычислении расстояния между двумя точками.

Теорема 1 (предположительно): Расстояние между двумя точками $A(x_1)$ и $B(x_2)$ на координатной прямой равно модулю разности их координат:$$ d(A, B) = |x_2 - x_1| $$

Проиллюстрировать эту теорему с помощью точек координатной прямой можно следующим образом, разобрав все возможные случаи расположения точек.

Общий принцип иллюстрации

1. Изображается координатная прямая — горизонтальная прямая, на которой выбраны начало отсчета (точка $O$ с координатой 0), положительное направление (обычно вправо) и единичный отрезок (масштаб).
2. На прямой отмечаются две произвольные точки $A$ и $B$ с координатами $x_1$ и $x_2$.
3. Расстояние между точками $A$ и $B$ — это геометрическая длина отрезка $AB$. Цель иллюстрации — показать, что эта длина всегда вычисляется по формуле $|x_2 - x_1|$.

Для наглядности рассмотрим три основных случая взаимного расположения точек $A$ и $B$ относительно начала отсчета. Для простоты будем считать, что точка $B$ расположена правее точки $A$, то есть $x_2 > x_1$.

Случай 1: Обе точки находятся на положительной полуоси ($x_2 > x_1 > 0$)

В этом случае обе точки лежат справа от нуля. Длина отрезка $AB$ может быть найдена как разность длин отрезков $OB$ и $OA$. Длина отрезка от начала отсчета до точки с положительной координатой равна самой этой координате.
Расстояние $d(A, B)$ равно $OB - OA = x_2 - x_1$.
Поскольку $x_2 > x_1$, разность $x_2 - x_1$ положительна. Следовательно, $x_2 - x_1 = |x_2 - x_1|$.
Пример: Пусть $A(2)$ и $B(5)$. Геометрически расстояние равно $5 - 2 = 3$. По формуле: $|5 - 2| = |3| = 3$. Значения совпадают.

Случай 2: Точки находятся по разные стороны от начала отсчета ($x_2 > 0 > x_1$)

В этом случае точка $A$ лежит слева от нуля, а точка $B$ — справа. Длина отрезка $AB$ складывается из длин отрезков $AO$ и $OB$. Длина отрезка от начала отсчета до точки с отрицательной координатой равна модулю этой координаты.
Расстояние $d(A, B)$ равно $AO + OB = |x_1| + |x_2|$.
Так как $x_1 < 0$, то $|x_1| = -x_1$. Так как $x_2 > 0$, то $|x_2| = x_2$.
Получаем $d(A, B) = (-x_1) + x_2 = x_2 - x_1$.
Поскольку $x_2 > 0$ и $x_1 < 0$, разность $x_2 - x_1$ заведомо положительна. Следовательно, $x_2 - x_1 = |x_2 - x_1|$.
Пример: Пусть $A(-3)$ и $B(4)$. Геометрически расстояние равно $3 + 4 = 7$. По формуле: $|4 - (-3)| = |4 + 3| = |7| = 7$. Значения совпадают.

Случай 3: Обе точки находятся на отрицательной полуоси ($0 > x_2 > x_1$)

В этом случае обе точки лежат слева от нуля. Длина отрезка $AB$ может быть найдена как разность длин отрезков $OA$ и $OB$.
Расстояние $d(A, B)$ равно $OA - OB = |x_1| - |x_2|$.
Так как $x_1$ и $x_2$ отрицательны, то $|x_1| = -x_1$ и $|x_2| = -x_2$.
Получаем $d(A, B) = (-x_1) - (-x_2) = x_2 - x_1$.
Поскольку $x_2 > x_1$, разность $x_2 - x_1$ положительна. Следовательно, $x_2 - x_1 = |x_2 - x_1|$.
Пример: Пусть $A(-6)$ и $B(-2)$. Геометрически расстояние равно $6 - 2 = 4$. По формуле: $|-2 - (-6)| = |-2 + 6| = |4| = 4$. Значения совпадают.

Вывод

Рассмотрение этих трех случаев показывает, что независимо от расположения точек на координатной прямой, расстояние между ними (длина отрезка) всегда соответствует значению, вычисленному по формуле $|x_2 - x_1|$. Так как $|x_2 - x_1| = |x_1 - x_2|$, формула универсальна и не зависит от того, координату какой точки считать первой.

Ответ:
Для иллюстрации теоремы о расстоянии между двумя точками на координатной прямой необходимо:
1. Изобразить координатную прямую и отметить на ней две произвольные точки $A(x_1)$ и $B(x_2)$.
2. Рассмотреть различные случаи их взаимного расположения: обе точки справа от нуля, обе слева от нуля, и по разные стороны от нуля.
3. Для каждого случая выразить геометрическую длину отрезка $AB$ через расстояния от точек $A$ и $B$ до начала отсчета (точки $O$).
4. Показать, что полученное в каждом случае выражение для длины отрезка алгебраически тождественно выражению $|x_2 - x_1|$. Это наглядно демонстрирует, что формула верна для любого расположения точек.