Номер 3, страница 50 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 8. Основные свойства числовых неравенств. Глава 2. Неравенства - номер 3, страница 50.

Условие.

3. Сформулировать теорему 2 и привести пример её использования.

Решение 3.

Решение 4.

Сформулировать теорему 2

В математическом анализе под "Теоремой 2" часто понимают теорему об арифметических свойствах пределов функций. Формулируется она следующим образом.

Теорема (об арифметических операциях с пределами):

Если существуют конечные пределы функций $f(x)$ и $g(x)$ при $x$, стремящемся к $a$, то есть $\lim_{x \to a} f(x) = A$ и $\lim_{x \to a} g(x) = B$, где $A, B \in \mathbb{R}$, то существуют и пределы их суммы, разности, произведения и частного (при условии, что предел знаменателя не равен нулю), причем выполняются следующие равенства:

1. Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) их пределов:
$\lim_{x \to a} (f(x) \pm g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) \pm \lim_{x \to a} g(x) = A \pm B$

2. Предел произведения функций равен произведению их пределов:
$\lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x) = A \cdot B$

Следствие: Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
$\lim_{x \to a} (c \cdot f(x)) = c \cdot \lim_{x \to a} f(x) = c \cdot A$ (где $c$ = const).

3. Предел частного двух функций равен частному их пределов, при условии, что предел знаменателя не равен нулю:
$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)} = \frac{A}{B}$ (при условии $B \neq 0$).

Ответ: Если функции $f(x)$ и $g(x)$ имеют конечные пределы в точке $a$, равные $A$ и $B$ соответственно, то предел их суммы (разности) равен $A \pm B$, предел произведения равен $A \cdot B$, а предел частного равен $\frac{A}{B}$ (при $B \neq 0$).

Привести пример её использования

Найдем предел функции $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 5x - 3}{x - 1}$.

1. Сначала проверим предел знаменателя. Так как функция $g(x) = x - 1$ непрерывна в точке $x=2$, ее предел равен значению функции в этой точке: $\lim_{x \to 2} (x - 1) = 2 - 1 = 1$.
Поскольку предел знаменателя не равен нулю ($1 \neq 0$), мы можем применить теорему о пределе частного.

2. Применяем теорему о пределе частного: $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 5x - 3}{x - 1} = \frac{\lim_{x \to 2} (x^2 + 5x - 3)}{\lim_{x \to 2} (x - 1)}$.

3. Теперь вычислим предел числителя, используя теоремы о пределе суммы, разности, произведения и вынесении константы: $\lim_{x \to 2} (x^2 + 5x - 3) = \lim_{x \to 2} x^2 + \lim_{x \to 2} 5x - \lim_{x \to 2} 3$.

Вычислим каждый член отдельно:

• $\lim_{x \to 2} x^2 = (\lim_{x \to 2} x)^2 = 2^2 = 4$
• $\lim_{x \to 2} 5x = 5 \cdot \lim_{x \to 2} x = 5 \cdot 2 = 10$
• $\lim_{x \to 2} 3 = 3$

Таким образом, предел числителя равен: $4 + 10 - 3 = 11$.

4. Мы уже нашли, что предел знаменателя равен $1$.

5. Собираем все вместе: $\frac{\lim_{x \to 2} (x^2 + 5x - 3)}{\lim_{x \to 2} (x - 1)} = \frac{11}{1} = 11$.

Ответ: $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 5x - 3}{x - 1} = 11$.