Номер 132, страница 47 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 7. Числовые неравенства. Глава 2. Неравенства - номер 132, страница 47.

Условие.

132. Доказать, что если $a > 0, b > 0$ и $a \neq b$, то выполняется неравенство $a^4 + b^4 > a^3b + ab^3$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для доказательства заданного неравенства $a^4 + b^4 > a^3b + ab^3$ выполним равносильные преобразования. Перенесем все члены из правой части в левую:

$a^4 + b^4 - a^3b - ab^3 > 0$

Сгруппируем слагаемые для последующего разложения на множители:

$(a^4 - a^3b) + (b^4 - ab^3) > 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$a^3(a - b) - b^3(a - b) > 0$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(a - b)$:

$(a - b)(a^3 - b^3) > 0$

Используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ для второго множителя:

$(a - b)(a - b)(a^2 + ab + b^2) > 0$

$(a - b)^2(a^2 + ab + b^2) > 0$

Рассмотрим полученное выражение. Оно состоит из двух множителей: $(a - b)^2$ и $(a^2 + ab + b^2)$.

1. Анализ первого множителя $(a - b)^2$:

По условию задачи $a \neq b$, следовательно, разность $(a - b)$ не равна нулю. Квадрат любого ненулевого действительного числа всегда строго положителен. Таким образом, $(a - b)^2 > 0$.

2. Анализ второго множителя $(a^2 + ab + b^2)$:

По условию задачи $a > 0$ и $b > 0$. Из этого следует, что:

• $a^2 > 0$ (квадрат положительного числа)
• $b^2 > 0$ (квадрат положительного числа)
• $ab > 0$ (произведение двух положительных чисел)

Сумма трех строго положительных слагаемых ($a^2$, $ab$ и $b^2$) также является строго положительным числом. Значит, $(a^2 + ab + b^2) > 0$.

В итоге мы имеем произведение двух множителей, каждый из которых строго больше нуля. Произведение двух положительных чисел всегда положительно.

$(a - b)^2(a^2 + ab + b^2) > 0$

Так как это неравенство верно и все преобразования были равносильными, то и исходное неравенство также верно.

Ответ: Неравенство $a^4 + b^4 > a^3b + ab^3$ доказано.