Номер 133, страница 47 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 7. Числовые неравенства. Глава 2. Неравенства - номер 133, страница 47.

Условие.

133. Доказать, что если $a > -1$ и $a \neq 1$, то $a^3 + 1 > a^2 + a$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для доказательства неравенства $a^3 + 1 > a^2 + a$ преобразуем его, перенеся все члены в левую часть.
$a^3 - a^2 - a + 1 > 0$
Теперь разложим левую часть на множители методом группировки:
$(a^3 - a^2) - (a - 1) > 0$
Вынесем общий множитель $a^2$ из первой скобки:
$a^2(a - 1) - 1(a - 1) > 0$
Вынесем общий множитель $(a - 1)$ за скобки:
$(a^2 - 1)(a - 1) > 0$
Применим формулу разности квадратов к первому множителю $(a^2 - 1) = (a - 1)(a + 1)$:
$(a - 1)(a + 1)(a - 1) > 0$
Сгруппируем одинаковые множители:
$(a - 1)^2(a + 1) > 0$
Проанализируем полученное неравенство с учетом заданных условий: $a > -1$ и $a \neq 1$.
1. Множитель $(a - 1)^2$. Так как по условию $a \neq 1$, то выражение $a - 1$ не равно нулю. Квадрат любого действительного числа, не равного нулю, всегда строго больше нуля. Таким образом, $(a - 1)^2 > 0$.
2. Множитель $(a + 1)$. Так как по условию $a > -1$, то выражение $a + 1$ строго больше нуля. Таким образом, $(a + 1) > 0$.
В левой части неравенства стоит произведение двух строго положительных множителей: $(a - 1)^2$ и $(a + 1)$. Произведение двух положительных чисел всегда положительно.
Следовательно, неравенство $(a - 1)^2(a + 1) > 0$ истинно для всех $a$, удовлетворяющих условиям.
Поскольку все преобразования были равносильными, исходное неравенство $a^3 + 1 > a^2 + a$ также истинно.
Ответ: Что и требовалось доказать.