Номер 129, страница 47 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 7. Числовые неравенства. Глава 2. Неравенства - номер 129, страница 47.

Условие.

129. Доказать, что при любых значениях $a$ и $b$ верно неравенство:

1) $a(a+b) > ab - 2;$

2) $2ab - 1 < b(2a+b);$

3) $b(a+2b) > ab - 3;$

4) $3ab - 2 < a(3b+a).$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Для доказательства неравенства $a(a+b) > ab - 2$ преобразуем его, выполняя равносильные переходы.
Раскроем скобки в левой части: $a^2 + ab > ab - 2$.
Перенесём все слагаемые в левую часть: $a^2 + ab - ab + 2 > 0$.
Упростим выражение: $a^2 + 2 > 0$.
Так как квадрат любого действительного числа $a$ неотрицателен ($a^2 \ge 0$), то сумма $a^2 + 2$ всегда будет больше или равна $2$.
Поскольку $2 > 0$, неравенство $a^2 + 2 > 0$ всегда верно. Следовательно, и исходное неравенство верно при любых значениях $a$ и $b$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Докажем неравенство $2ab - 1 < b(2a+b)$.
Раскроем скобки в правой части: $2ab - 1 < 2ab + b^2$.
Перенесём все слагаемые в правую часть, чтобы получить неравенство с нулём в левой части: $0 < 2ab + b^2 - 2ab + 1$.
Упростим выражение: $0 < b^2 + 1$, или $b^2 + 1 > 0$.
Так как $b^2 \ge 0$ для любого действительного числа $b$, то $b^2 + 1 \ge 1$.
Поскольку $1 > 0$, неравенство $b^2 + 1 > 0$ всегда верно. Следовательно, и исходное неравенство верно при любых значениях $a$ и $b$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

3) Докажем неравенство $b(a+2b) > ab - 3$.
Раскроем скобки в левой части: $ab + 2b^2 > ab - 3$.
Перенесём все слагаемые в левую часть: $ab + 2b^2 - ab + 3 > 0$.
Упростим выражение: $2b^2 + 3 > 0$.
Так как $b^2 \ge 0$, то и $2b^2 \ge 0$. Следовательно, $2b^2 + 3 \ge 3$.
Поскольку $3 > 0$, неравенство $2b^2 + 3 > 0$ всегда верно. Значит, и исходное неравенство верно при любых значениях $a$ и $b$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

4) Докажем неравенство $3ab - 2 < a(3b+a)$.
Раскроем скобки в правой части: $3ab - 2 < 3ab + a^2$.
Перенесём все слагаемые в правую часть: $0 < 3ab + a^2 - 3ab + 2$.
Упростим выражение: $0 < a^2 + 2$, или $a^2 + 2 > 0$.
Так как $a^2 \ge 0$ для любого действительного числа $a$, то $a^2 + 2 \ge 2$.
Поскольку $2 > 0$, неравенство $a^2 + 2 > 0$ всегда верно. Следовательно, и исходное неравенство верно при любых значениях $a$ и $b$.
Ответ: Что и требовалось доказать.