Номер 127, страница 47 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 7. Числовые неравенства. Глава 2. Неравенства - номер 127, страница 47.

Условие.

127. Сравнить значения выражения $\frac{a^2}{(1+a)^2} \cdot \left(\frac{1}{a^3} + \frac{2}{a^2} + \frac{1}{a}\right)$

1) при $a = 235$ и $a = 785$;

2) при $a = -0,8$ и $a = -\frac{5}{6}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для того чтобы сравнить значения выражения при разных значениях переменной $a$, сперва упростим само выражение.

Исходное выражение: $\frac{a^2}{(1+a)^2} \cdot \left(\frac{1}{a^3} + \frac{2}{a^2} + \frac{1}{a}\right)$

Рассмотрим выражение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $a^3$:

$\frac{1}{a^3} + \frac{2}{a^2} + \frac{1}{a} = \frac{1}{a^3} + \frac{2 \cdot a}{a^2 \cdot a} + \frac{1 \cdot a^2}{a \cdot a^2} = \frac{1 + 2a + a^2}{a^3}$

В числителе мы получили формулу квадрата суммы: $1 + 2a + a^2 = (1+a)^2$.

Таким образом, выражение в скобках можно записать как $\frac{(1+a)^2}{a^3}$.

Теперь подставим упрощенную часть обратно в исходное выражение:

$\frac{a^2}{(1+a)^2} \cdot \frac{(1+a)^2}{a^3}$

Сократим дробь. Множитель $(1+a)^2$ присутствует и в числителе, и в знаменателе, поэтому его можно сократить (при условии, что $1+a \neq 0$, то есть $a \neq -1$). Также можно сократить $a^2$ (при условии, что $a \neq 0$). Все заданные значения $a$ удовлетворяют этим условиям.

$\frac{a^2}{(1+a)^2} \cdot \frac{(1+a)^2}{a^3} = \frac{a^2}{a^3} = \frac{1}{a}$

Итак, все выражение упрощается до $\frac{1}{a}$. Теперь сравнение становится значительно проще.

1) при $a=235$ и $a=785$

Нам необходимо сравнить значения выражения $\frac{1}{a}$ при $a=235$ и $a=785$.

При $a=235$ значение равно $\frac{1}{235}$.

При $a=785$ значение равно $\frac{1}{785}$.

Сравниваем дроби $\frac{1}{235}$ и $\frac{1}{785}$. Поскольку оба знаменателя положительны и $235 < 785$, то для обратных им чисел неравенство меняет знак: $\frac{1}{235} > \frac{1}{785}$.

Ответ: значение выражения при $a=235$ больше, чем при $a=785$.

2) при $a=-0,8$ и $a=-\frac{5}{6}$

Нам необходимо сравнить значения выражения $\frac{1}{a}$ при $a=-0,8$ и $a=-\frac{5}{6}$.

Найдем значение выражения для каждого $a$:

При $a=-0,8$, значение равно $\frac{1}{-0,8} = -\frac{1}{8/10} = -\frac{10}{8} = -\frac{5}{4}$.

При $a=-\frac{5}{6}$, значение равно $\frac{1}{-5/6} = -\frac{6}{5}$.

Теперь сравним полученные значения: $-\frac{5}{4}$ и $-\frac{6}{5}$. Для удобства сравнения преобразуем их в десятичные дроби:

$-\frac{5}{4} = -1,25$

$-\frac{6}{5} = -1,2$

Сравнивая два отрицательных числа, видим, что $-1,25 < -1,2$.

Следовательно, $-\frac{5}{4} < -\frac{6}{5}$.

Ответ: значение выражения при $a=-0,8$ меньше, чем при $a=-\frac{5}{6}$.