Номер 6, страница 46 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 7. Числовые неравенства. Глава 2. Неравенства - номер 6, страница 46.

Условие.

6. Пояснить, почему $a^2 - 2a + 1 > 0$ при $a \ne 1$.

Решение 3.

Решение 4.

Рассмотрим выражение в левой части неравенства: $a^2 - 2a + 1$. Данное выражение является формулой сокращенного умножения, а именно квадратом разности. Формула имеет вид: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Применив эту формулу к нашему выражению, где $x=a$ и $y=1$, мы получим: $a^2 - 2a + 1 = (a - 1)^2$.

Таким образом, исходное неравенство $a^2 - 2a + 1 > 0$ можно переписать в эквивалентном виде: $(a - 1)^2 > 0$.

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть он всегда больше или равен нулю. Значит, $(a - 1)^2 \ge 0$ при любом значении $a$. Равенство нулю, то есть $(a - 1)^2 = 0$, достигается только в том случае, когда выражение в скобках равно нулю: $a - 1 = 0$, что соответствует $a = 1$.

Однако, по условию задачи нам дано, что $a \neq 1$. Это означает, что разность $a - 1$ не равна нулю. Квадрат любого действительного числа, не равного нулю, всегда является строго положительным числом. Следовательно, при условии $a \neq 1$, выражение $(a - 1)^2$ всегда будет строго больше нуля, что и требовалось доказать.
Ответ: Выражение $a^2 - 2a + 1$ является полным квадратом разности $(a - 1)^2$. Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Он равен нулю только тогда, когда само число равно нулю (т.е. при $a=1$). Поскольку по условию $a \neq 1$, то $a-1 \neq 0$, и, следовательно, квадрат этого выражения $(a-1)^2$ всегда строго больше нуля.