Номер 3, страница 46 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Вводные упражнения. Параграф 7. Числовые неравенства. Глава 2. Неравенства - номер 3, страница 46.

Условие.

3. Объяснить, почему $a^2 - (1 + 2a^2) < 0$ при любом $a$.

Решение 3.

Решение 4.

Чтобы объяснить, почему данное неравенство верно для любого значения $a$, необходимо преобразовать и проанализировать выражение в его левой части.

Сначала упростим выражение $a^2 - (1 + 2a^2)$. Для этого раскроем скобки. Поскольку перед скобкой стоит знак минус, все знаки внутри скобок меняются на противоположные:

$a^2 - (1 + 2a^2) = a^2 - 1 - 2a^2$

Далее приведем подобные слагаемые, то есть выполним действия с членами, содержащими $a^2$:

$a^2 - 2a^2 - 1 = -a^2 - 1$

Таким образом, исходное неравенство $a^2 - (1 + 2a^2) < 0$ эквивалентно неравенству:

$-a^2 - 1 < 0$

Теперь проанализируем полученное выражение $-a^2 - 1$.

Выражение $a^2$ представляет собой квадрат любого действительного числа $a$. Квадрат любого числа всегда неотрицателен, то есть $a^2 \ge 0$.

Если $a^2 \ge 0$, то выражение $-a^2$ (противоположное ему) всегда будет неположительным, то есть $-a^2 \le 0$.

Рассмотрим выражение $-a^2 - 1$. Мы вычитаем 1 из неположительного числа ($-a^2$).

Максимальное возможное значение для $-a^2$ равно 0 (это достигается при $a=0$). В этом случае значение всего выражения будет $0 - 1 = -1$.

Во всех остальных случаях, когда $a \ne 0$, значение $a^2$ будет строго положительным ($a^2 > 0$), а значение $-a^2$ — строго отрицательным ($-a^2 < 0$). Соответственно, значение выражения $-a^2 - 1$ будет строго меньше, чем $-1$.

Таким образом, для любого значения $a$ выполняется неравенство $-a^2 - 1 \le -1$. Так как число $-1$ строго меньше нуля, то и выражение $-a^2 - 1$ всегда будет меньше нуля. Это доказывает, что исходное неравенство справедливо при любом $a$.

Ответ: Выражение $a^2 - (1 + 2a^2)$ после упрощения равно $-a^2 - 1$. Так как $a^2$ всегда больше или равно нулю ($a^2 \ge 0$) для любого действительного $a$, то $-a^2$ всегда меньше или равно нулю ($-a^2 \le 0$). Следовательно, выражение $-a^2 - 1$ всегда будет меньше или равно $-1$ ($-a^2 - 1 \le -1$), что, в свою очередь, всегда строго меньше нуля. Таким образом, неравенство $a^2 - (1 + 2a^2) < 0$ верно при любом $a$.