Номер 5, страница 50 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 8. Основные свойства числовых неравенств. Глава 2. Неравенства - номер 5, страница 50.

Условие.

5. Сформулировать следствие из теоремы 2. Привести пример его применения.

Решение 3.

Решение 4.

Поскольку в вопросе не указано, о какой именно теореме 2 идет речь, будем исходить из того, что это одна из фундаментальных теорем математического анализа, а именно теорема Ферма (необходимое условие экстремума).

Теорема 2 (Теорема Ферма): Если функция $f(x)$ определена в некоторой окрестности точки $x_0$, дифференцируема в этой точке и имеет в ней локальный экстремум (максимум или минимум), то её производная в этой точке равна нулю: $f'(x_0) = 0$.

---

Сформулировать следствие из теоремы 2.

Следствием из теоремы Ферма является алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке. Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$, то по теореме Вейерштрасса она достигает на этом отрезке своих наибольшего и наименьшего значений. Эти значения могут достигаться либо на концах отрезка (в точках $x=a$ и $x=b$), либо во внутренних точках отрезка $(a, b)$. Если экстремум достигается во внутренней точке $x_0$, то, согласно теореме Ферма, производная в этой точке должна быть равна нулю ($f'(x_0)=0$), либо производная в этой точке не существует. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими.

Таким образом, формулируется следующее практическое правило (следствие):

Следствие: Наибольшее и наименьшее значения функции $f(x)$, непрерывной на отрезке $[a, b]$, достигаются либо на концах этого отрезка (в точках $a$ и $b$), либо в критических точках, принадлежащих интервалу $(a, b)$.

Ответ: Для нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной на отрезке $[a, b]$ функции, необходимо вычислить ее значения на концах отрезка ($f(a)$ и $f(b)$) и в тех критических точках, которые лежат внутри отрезка, а затем выбрать из полученных чисел самое большое и самое маленькое.

Привести пример его применения.

Задача: Найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^3 - 6x^2 + 5$ на отрезке $[-3, 5]$.

Решение:

Воспользуемся алгоритмом, вытекающим из следствия теоремы Ферма.

1. Найдем производную функции.

$f'(x) = (x^3 - 6x^2 + 5)' = 3x^2 - 12x$

2. Найдем критические точки.

Производная существует на всей числовой оси. Найдем точки, в которых производная равна нулю:

$3x^2 - 12x = 0$

$3x(x - 4) = 0$

Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

Обе точки принадлежат заданному отрезку $[-3, 5]$.

3. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка.

Кандидатами на точки глобального экстремума являются: $-3, 0, 4, 5$.

• $f(-3) = (-3)^3 - 6(-3)^2 + 5 = -27 - 6(9) + 5 = -27 - 54 + 5 = -76$
• $f(0) = (0)^3 - 6(0)^2 + 5 = 5$
• $f(4) = (4)^3 - 6(4)^2 + 5 = 64 - 6(16) + 5 = 64 - 96 + 5 = -27$
• $f(5) = (5)^3 - 6(5)^2 + 5 = 125 - 6(25) + 5 = 125 - 150 + 5 = -20$

4. Сравним полученные значения.

Мы получили следующие значения: $-76, 5, -27, -20$.

Наибольшее из этих значений равно $5$.

Наименьшее из этих значений равно $-76$.

Ответ: Наибольшее значение функции на отрезке $[-3, 5]$ равно $5$ и достигается в точке $x=0$. Наименьшее значение функции на отрезке $[-3, 5]$ равно $-76$ и достигается в точке $x=-3$.