Страница 50 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Как с помощью точек координатной прямой можно проиллюстрировать теорему 1?

Поскольку формулировка теоремы 1 не приведена, будем полагать, что речь идет об основной теореме, связанной с точками на координатной прямой, а именно о вычислении расстояния между двумя точками.

Теорема 1 (предположительно): Расстояние между двумя точками $A(x_1)$ и $B(x_2)$ на координатной прямой равно модулю разности их координат:$$ d(A, B) = |x_2 - x_1| $$

Проиллюстрировать эту теорему с помощью точек координатной прямой можно следующим образом, разобрав все возможные случаи расположения точек.

Общий принцип иллюстрации

1. Изображается координатная прямая — горизонтальная прямая, на которой выбраны начало отсчета (точка $O$ с координатой 0), положительное направление (обычно вправо) и единичный отрезок (масштаб).
2. На прямой отмечаются две произвольные точки $A$ и $B$ с координатами $x_1$ и $x_2$.
3. Расстояние между точками $A$ и $B$ — это геометрическая длина отрезка $AB$. Цель иллюстрации — показать, что эта длина всегда вычисляется по формуле $|x_2 - x_1|$.

Для наглядности рассмотрим три основных случая взаимного расположения точек $A$ и $B$ относительно начала отсчета. Для простоты будем считать, что точка $B$ расположена правее точки $A$, то есть $x_2 > x_1$.

Случай 1: Обе точки находятся на положительной полуоси ($x_2 > x_1 > 0$)

В этом случае обе точки лежат справа от нуля. Длина отрезка $AB$ может быть найдена как разность длин отрезков $OB$ и $OA$. Длина отрезка от начала отсчета до точки с положительной координатой равна самой этой координате.
Расстояние $d(A, B)$ равно $OB - OA = x_2 - x_1$.
Поскольку $x_2 > x_1$, разность $x_2 - x_1$ положительна. Следовательно, $x_2 - x_1 = |x_2 - x_1|$.
Пример: Пусть $A(2)$ и $B(5)$. Геометрически расстояние равно $5 - 2 = 3$. По формуле: $|5 - 2| = |3| = 3$. Значения совпадают.

Случай 2: Точки находятся по разные стороны от начала отсчета ($x_2 > 0 > x_1$)

В этом случае точка $A$ лежит слева от нуля, а точка $B$ — справа. Длина отрезка $AB$ складывается из длин отрезков $AO$ и $OB$. Длина отрезка от начала отсчета до точки с отрицательной координатой равна модулю этой координаты.
Расстояние $d(A, B)$ равно $AO + OB = |x_1| + |x_2|$.
Так как $x_1 < 0$, то $|x_1| = -x_1$. Так как $x_2 > 0$, то $|x_2| = x_2$.
Получаем $d(A, B) = (-x_1) + x_2 = x_2 - x_1$.
Поскольку $x_2 > 0$ и $x_1 < 0$, разность $x_2 - x_1$ заведомо положительна. Следовательно, $x_2 - x_1 = |x_2 - x_1|$.
Пример: Пусть $A(-3)$ и $B(4)$. Геометрически расстояние равно $3 + 4 = 7$. По формуле: $|4 - (-3)| = |4 + 3| = |7| = 7$. Значения совпадают.

Случай 3: Обе точки находятся на отрицательной полуоси ($0 > x_2 > x_1$)

В этом случае обе точки лежат слева от нуля. Длина отрезка $AB$ может быть найдена как разность длин отрезков $OA$ и $OB$.
Расстояние $d(A, B)$ равно $OA - OB = |x_1| - |x_2|$.
Так как $x_1$ и $x_2$ отрицательны, то $|x_1| = -x_1$ и $|x_2| = -x_2$.
Получаем $d(A, B) = (-x_1) - (-x_2) = x_2 - x_1$.
Поскольку $x_2 > x_1$, разность $x_2 - x_1$ положительна. Следовательно, $x_2 - x_1 = |x_2 - x_1|$.
Пример: Пусть $A(-6)$ и $B(-2)$. Геометрически расстояние равно $6 - 2 = 4$. По формуле: $|-2 - (-6)| = |-2 + 6| = |4| = 4$. Значения совпадают.

Вывод

Рассмотрение этих трех случаев показывает, что независимо от расположения точек на координатной прямой, расстояние между ними (длина отрезка) всегда соответствует значению, вычисленному по формуле $|x_2 - x_1|$. Так как $|x_2 - x_1| = |x_1 - x_2|$, формула универсальна и не зависит от того, координату какой точки считать первой.

Ответ:
Для иллюстрации теоремы о расстоянии между двумя точками на координатной прямой необходимо:
1. Изобразить координатную прямую и отметить на ней две произвольные точки $A(x_1)$ и $B(x_2)$.
2. Рассмотреть различные случаи их взаимного расположения: обе точки справа от нуля, обе слева от нуля, и по разные стороны от нуля.
3. Для каждого случая выразить геометрическую длину отрезка $AB$ через расстояния от точек $A$ и $B$ до начала отсчета (точки $O$).
4. Показать, что полученное в каждом случае выражение для длины отрезка алгебраически тождественно выражению $|x_2 - x_1|$. Это наглядно демонстрирует, что формула верна для любого расположения точек.

2. Сравнить числа $k$ и $m$, если $k < n$ и $n < m$.

Для сравнения чисел $k$ и $m$ воспользуемся свойством транзитивности числовых неравенств. Это свойство гласит, что если одно число меньше второго, а второе число меньше третьего, то первое число меньше третьего. Математически это записывается так: если $a < b$ и $b < c$, то $a < c$.

В условии задачи нам даны два неравенства:

1. $k < n$ (число $k$ меньше числа $n$)

2. $n < m$ (число $n$ меньше числа $m$)

Мы видим, что число $n$ является связующим звеном. Мы можем объединить эти два неравенства в одно двойное неравенство:

$k < n < m$

Из этого двойного неравенства напрямую следует, что крайнее левое число ($k$) меньше крайнего правого числа ($m$).

Ответ: $k < m$.

3. Сформулировать теорему 2 и привести пример её использования.

Сформулировать теорему 2

В математическом анализе под "Теоремой 2" часто понимают теорему об арифметических свойствах пределов функций. Формулируется она следующим образом.

Теорема (об арифметических операциях с пределами):

Если существуют конечные пределы функций $f(x)$ и $g(x)$ при $x$, стремящемся к $a$, то есть $\lim_{x \to a} f(x) = A$ и $\lim_{x \to a} g(x) = B$, где $A, B \in \mathbb{R}$, то существуют и пределы их суммы, разности, произведения и частного (при условии, что предел знаменателя не равен нулю), причем выполняются следующие равенства:

1. Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) их пределов:
$\lim_{x \to a} (f(x) \pm g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) \pm \lim_{x \to a} g(x) = A \pm B$

2. Предел произведения функций равен произведению их пределов:
$\lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x) = A \cdot B$

Следствие: Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
$\lim_{x \to a} (c \cdot f(x)) = c \cdot \lim_{x \to a} f(x) = c \cdot A$ (где $c$ = const).

3. Предел частного двух функций равен частному их пределов, при условии, что предел знаменателя не равен нулю:
$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)} = \frac{A}{B}$ (при условии $B \neq 0$).

Ответ: Если функции $f(x)$ и $g(x)$ имеют конечные пределы в точке $a$, равные $A$ и $B$ соответственно, то предел их суммы (разности) равен $A \pm B$, предел произведения равен $A \cdot B$, а предел частного равен $\frac{A}{B}$ (при $B \neq 0$).

Привести пример её использования

Найдем предел функции $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 5x - 3}{x - 1}$.

1. Сначала проверим предел знаменателя. Так как функция $g(x) = x - 1$ непрерывна в точке $x=2$, ее предел равен значению функции в этой точке: $\lim_{x \to 2} (x - 1) = 2 - 1 = 1$.
Поскольку предел знаменателя не равен нулю ($1 \neq 0$), мы можем применить теорему о пределе частного.

2. Применяем теорему о пределе частного: $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 5x - 3}{x - 1} = \frac{\lim_{x \to 2} (x^2 + 5x - 3)}{\lim_{x \to 2} (x - 1)}$.

3. Теперь вычислим предел числителя, используя теоремы о пределе суммы, разности, произведения и вынесении константы: $\lim_{x \to 2} (x^2 + 5x - 3) = \lim_{x \to 2} x^2 + \lim_{x \to 2} 5x - \lim_{x \to 2} 3$.

Вычислим каждый член отдельно:

• $\lim_{x \to 2} x^2 = (\lim_{x \to 2} x)^2 = 2^2 = 4$
• $\lim_{x \to 2} 5x = 5 \cdot \lim_{x \to 2} x = 5 \cdot 2 = 10$
• $\lim_{x \to 2} 3 = 3$

Таким образом, предел числителя равен: $4 + 10 - 3 = 11$.

4. Мы уже нашли, что предел знаменателя равен $1$.

5. Собираем все вместе: $\frac{\lim_{x \to 2} (x^2 + 5x - 3)}{\lim_{x \to 2} (x - 1)} = \frac{11}{1} = 11$.

Ответ: $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 5x - 3}{x - 1} = 11$.

4. Известно, что $x > y$. Изменится ли знак неравенства, если к обеим частям этого неравенства прибавить число $-10$?

Для ответа на этот вопрос воспользуемся одним из основных свойств числовых неравенств. Свойство гласит: если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не изменится.

Исходное неравенство: $x > y$.

К обеим частям этого неравенства нужно прибавить число $-10$. Выполним это действие:$x + (-10) > y + (-10)$

Упростим полученное выражение:$x - 10 > y - 10$

Как видно, знак неравенства `>` остался прежним.

Рассмотрим на конкретном примере. Пусть $x = 5$ и $y = 2$. Неравенство $5 > 2$ является верным.Прибавим к обеим частям $-10$:$5 + (-10) > 2 + (-10)$$-5 > -8$Полученное неравенство также является верным, и знак не изменился.

Ответ: Нет, знак неравенства не изменится.

5. Сформулировать следствие из теоремы 2. Привести пример его применения.

Поскольку в вопросе не указано, о какой именно теореме 2 идет речь, будем исходить из того, что это одна из фундаментальных теорем математического анализа, а именно теорема Ферма (необходимое условие экстремума).

Теорема 2 (Теорема Ферма): Если функция $f(x)$ определена в некоторой окрестности точки $x_0$, дифференцируема в этой точке и имеет в ней локальный экстремум (максимум или минимум), то её производная в этой точке равна нулю: $f'(x_0) = 0$.

Сформулировать следствие из теоремы 2.

Следствием из теоремы Ферма является алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке. Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$, то по теореме Вейерштрасса она достигает на этом отрезке своих наибольшего и наименьшего значений. Эти значения могут достигаться либо на концах отрезка (в точках $x=a$ и $x=b$), либо во внутренних точках отрезка $(a, b)$. Если экстремум достигается во внутренней точке $x_0$, то, согласно теореме Ферма, производная в этой точке должна быть равна нулю ($f'(x_0)=0$), либо производная в этой точке не существует. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими.

Таким образом, формулируется следующее практическое правило (следствие):

Следствие: Наибольшее и наименьшее значения функции $f(x)$, непрерывной на отрезке $[a, b]$, достигаются либо на концах этого отрезка (в точках $a$ и $b$), либо в критических точках, принадлежащих интервалу $(a, b)$.

Ответ: Для нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной на отрезке $[a, b]$ функции, необходимо вычислить ее значения на концах отрезка ($f(a)$ и $f(b)$) и в тех критических точках, которые лежат внутри отрезка, а затем выбрать из полученных чисел самое большое и самое маленькое.

Привести пример его применения.

Задача: Найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^3 - 6x^2 + 5$ на отрезке $[-3, 5]$.

Решение:

Воспользуемся алгоритмом, вытекающим из следствия теоремы Ферма.

1. Найдем производную функции.

$f'(x) = (x^3 - 6x^2 + 5)' = 3x^2 - 12x$

2. Найдем критические точки.

Производная существует на всей числовой оси. Найдем точки, в которых производная равна нулю:

$3x^2 - 12x = 0$

$3x(x - 4) = 0$

Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

Обе точки принадлежат заданному отрезку $[-3, 5]$.

3. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка.

Кандидатами на точки глобального экстремума являются: $-3, 0, 4, 5$.

• $f(-3) = (-3)^3 - 6(-3)^2 + 5 = -27 - 6(9) + 5 = -27 - 54 + 5 = -76$
• $f(0) = (0)^3 - 6(0)^2 + 5 = 5$
• $f(4) = (4)^3 - 6(4)^2 + 5 = 64 - 6(16) + 5 = 64 - 96 + 5 = -27$
• $f(5) = (5)^3 - 6(5)^2 + 5 = 125 - 6(25) + 5 = 125 - 150 + 5 = -20$

4. Сравним полученные значения.

Мы получили следующие значения: $-76, 5, -27, -20$.

Наибольшее из этих значений равно $5$.

Наименьшее из этих значений равно $-76$.

Ответ: Наибольшее значение функции на отрезке $[-3, 5]$ равно $5$ и достигается в точке $x=0$. Наименьшее значение функции на отрезке $[-3, 5]$ равно $-76$ и достигается в точке $x=-3$.

6. Изменится ли знак неравенства $b<c$, если обе его части:

1) умножить на 0,05;

2) умножить на -17,5;

3) разделить на -1;

4) разделить на $\frac{1}{2}$?

Чтобы определить, изменится ли знак неравенства $b < c$, нужно проанализировать знак числа, на которое умножается или делится каждая часть неравенства.
Правило:

• При умножении или делении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства не меняется.
• При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (например, $‹$ на $›$).

1) умножить на 0,05;

Число 0,05 является положительным ($0,05 > 0$). Согласно правилу, при умножении на положительное число знак неравенства не изменится.
Исходное неравенство: $b < c$.
После умножения: $0,05 \cdot b < 0,05 \cdot c$.
Знак `<` сохранился.
Ответ: не изменится.

2) умножить на -17,5;

Число -17,5 является отрицательным ($-17,5 < 0$). Согласно правилу, при умножении на отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный.
Исходное неравенство: $b < c$.
После умножения: $-17,5 \cdot b > -17,5 \cdot c$.
Знак `<` изменился на `«>»`.
Ответ: изменится.

3) разделить на -1;

Число -1 является отрицательным ($-1 < 0$). Согласно правилу, при делении на отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный.
Исходное неравенство: $b < c$.
После деления: $b : (-1) > c : (-1)$, что равносильно $-b > -c$.
Знак `<` изменился на `«>»`.
Ответ: изменится.

4) разделить на $\frac{1}{2}$?

Число $\frac{1}{2}$ является положительным ($\frac{1}{2} > 0$). Согласно правилу, при делении на положительное число знак неравенства не изменится. Стоит отметить, что деление на $\frac{1}{2}$ эквивалентно умножению на 2.
Исходное неравенство: $b < c$.
После деления: $b : \frac{1}{2} < c : \frac{1}{2}$, что равносильно $2b < 2c$.
Знак `<` сохранился.
Ответ: не изменится.

1. Сравнить числа:

1) $-1$ и $0,7$;

2) $1,9$ и $-0,9$;

3) $-8,7$ и $-8,6$;

4) $-3,45$ и $-3,46$;

5) $1\frac{5}{9}$ и $1\frac{4}{9}$;

6) $\frac{7}{8}$ и $\frac{7}{9}$.

1) Сравниваем отрицательное число $-1$ и положительное число $0,7$. Любое отрицательное число всегда меньше любого положительного числа.
Следовательно, $-1 < 0,7$.
Ответ: $-1 < 0,7$

2) Сравниваем положительное число $1,9$ и отрицательное число $-0,9$. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа.
Следовательно, $1,9 > -0,9$.
Ответ: $1,9 > -0,9$

3) Для сравнения двух отрицательных чисел $-8,7$ и $-8,6$ нужно сравнить их модули (абсолютные величины). Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.
Модуль числа $-8,7$ равен $|-8,7| = 8,7$.
Модуль числа $-8,6$ равен $|-8,6| = 8,6$.
Так как $8,7 > 8,6$, то число $-8,7$ находится левее на числовой прямой, чем $-8,6$.
Следовательно, $-8,7 < -8,6$.
Ответ: $-8,7 < -8,6$

4) Сравниваем два отрицательных числа $-3,45$ и $-3,46$. Как и в предыдущем примере, сравним их модули. Больше то отрицательное число, модуль которого меньше.
Модуль числа $-3,45$ равен $|-3,45| = 3,45$.
Модуль числа $-3,46$ равен $|-3,46| = 3,46$.
Так как $3,45 < 3,46$, то число $-3,45$ находится правее на числовой прямой, чем $-3,46$.
Следовательно, $-3,45 > -3,46$.
Ответ: $-3,45 > -3,46$

5) Сравниваем смешанные числа $1\frac{5}{9}$ и $1\frac{4}{9}$. Целые части этих чисел равны (1). Значит, нужно сравнить их дробные части: $\frac{5}{9}$ и $\frac{4}{9}$.
Так как знаменатели у дробей одинаковые (9), сравниваем их числители. Поскольку $5 > 4$, то и дробь $\frac{5}{9} > \frac{4}{9}$.
Следовательно, $1\frac{5}{9} > 1\frac{4}{9}$.
Ответ: $1\frac{5}{9} > 1\frac{4}{9}$

6) Чтобы сравнить дроби $\frac{7}{8}$ и $\frac{7}{9}$, можно привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел $8$ и $9$ равен $8 \cdot 9 = 72$.
Приведем первую дробь к знаменателю $72$: $\frac{7}{8} = \frac{7 \cdot 9}{8 \cdot 9} = \frac{63}{72}$.
Приведем вторую дробь к знаменателю $72$: $\frac{7}{9} = \frac{7 \cdot 8}{9 \cdot 8} = \frac{56}{72}$.
Теперь сравним полученные дроби с одинаковыми знаменателями. Так как $63 > 56$, то $\frac{63}{72} > \frac{56}{72}$.
Следовательно, $\frac{7}{8} > \frac{7}{9}$.
Альтернативный способ: Если у двух положительных дробей одинаковые числители, то больше та дробь, у которой знаменатель меньше. Так как $8 < 9$, то $\frac{7}{8} > \frac{7}{9}$.
Ответ: $\frac{7}{8} > \frac{7}{9}$

2. Упростить:

1) $(a-2)^2 - (a-1)(a+3);$

2) $(b+4)(b-2) - (b-1)^2.$

1) Чтобы упростить выражение $(a-2)^2 - (a-1)(a+3)$, необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.

Первым шагом раскроем квадрат разности, используя формулу сокращенного умножения $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(a-2)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 = a^2 - 4a + 4$.

Вторым шагом перемножим две скобки $(a-1)(a+3)$:

$(a-1)(a+3) = a \cdot a + a \cdot 3 - 1 \cdot a - 1 \cdot 3 = a^2 + 3a - a - 3 = a^2 + 2a - 3$.

Теперь подставим полученные многочлены в исходное выражение:

$(a-2)^2 - (a-1)(a+3) = (a^2 - 4a + 4) - (a^2 + 2a - 3)$.

Раскроем скобки, перед которыми стоит знак минус. Для этого поменяем знаки всех слагаемых в скобках на противоположные:

$a^2 - 4a + 4 - a^2 - 2a + 3$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) + (-4a - 2a) + (4 + 3) = 0 - 6a + 7 = 7 - 6a$.

Ответ: $7 - 6a$.

2) Чтобы упростить выражение $(b+4)(b-2) - (b-1)^2$, также раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

Сначала перемножим две скобки $(b+4)(b-2)$:

$(b+4)(b-2) = b \cdot b + b \cdot (-2) + 4 \cdot b + 4 \cdot (-2) = b^2 - 2b + 4b - 8 = b^2 + 2b - 8$.

Затем раскроем квадрат разности, используя формулу $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(b-1)^2 = b^2 - 2 \cdot b \cdot 1 + 1^2 = b^2 - 2b + 1$.

Теперь подставим полученные многочлены в исходное выражение:

$(b+4)(b-2) - (b-1)^2 = (b^2 + 2b - 8) - (b^2 - 2b + 1)$.

Раскроем скобки, перед которыми стоит знак минус, изменив знаки слагаемых внутри них:

$b^2 + 2b - 8 - b^2 + 2b - 1$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(b^2 - b^2) + (2b + 2b) + (-8 - 1) = 0 + 4b - 9 = 4b - 9$.

Ответ: $4b - 9$.

3. К обеим частям уравнения $2x - 3 = 5$ прибавить число: -3; 5; 3; -5.

1

1

В задании требуется к обеим частям исходного уравнения $2x - 3 = 5$ прибавить поочередно числа -3; 5; 3; -5. Это делается на основе свойства, что если к обеим частям верного равенства прибавить одно и то же число, то получится верное равенство.

-3

Прибавим число -3 к левой и правой частям уравнения:

$(2x - 3) + (-3) = 5 + (-3)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$2x - 3 - 3 = 5 - 3$

$2x - 6 = 2$

Ответ: $2x - 6 = 2$

5

Прибавим число 5 к левой и правой частям уравнения:

$(2x - 3) + 5 = 5 + 5$

Упростим выражение:

$2x + 2 = 10$

Ответ: $2x + 2 = 10$

3

Прибавим число 3 к левой и правой частям уравнения:

$(2x - 3) + 3 = 5 + 3$

Упростим выражение:

$2x = 8$

Ответ: $2x = 8$

-5

Прибавим число -5 к левой и правой частям уравнения:

$(2x - 3) + (-5) = 5 + (-5)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$2x - 3 - 5 = 5 - 5$

$2x - 8 = 0$

Ответ: $2x - 8 = 0$

4. Обе части уравнения $\frac{1}{3}x=4$ умножить на число: 3; $-\frac{1}{2}$; $\frac{1}{4}$.

3
Чтобы умножить обе части уравнения $\frac{1}{3}x = 4$ на число 3, мы выполняем следующие действия:
Левую часть умножаем на 3: $(\frac{1}{3}x) \cdot 3 = \frac{3}{3}x = x$.
Правую часть умножаем на 3: $4 \cdot 3 = 12$.
В результате получаем новое уравнение: $x = 12$.
Ответ: $x = 12$

-3
Умножим обе части уравнения $\frac{1}{3}x = 4$ на число -3:
$(\frac{1}{3}x) \cdot (-3) = 4 \cdot (-3)$
$-\frac{3}{3}x = -12$
$-x = -12$
Ответ: $-x = -12$

$-\frac{1}{2}$
Умножим обе части уравнения $\frac{1}{3}x = 4$ на число $-\frac{1}{2}$:
$(\frac{1}{3}x) \cdot (-\frac{1}{2}) = 4 \cdot (-\frac{1}{2})$
$-\frac{1}{6}x = -\frac{4}{2}$
$-\frac{1}{6}x = -2$
Ответ: $-\frac{1}{6}x = -2$

$\frac{1}{4}$
Умножим обе части уравнения $\frac{1}{3}x = 4$ на число $\frac{1}{4}$:
$(\frac{1}{3}x) \cdot \frac{1}{4} = 4 \cdot \frac{1}{4}$
$\frac{1}{12}x = \frac{4}{4}$
$\frac{1}{12}x = 1$
Ответ: $\frac{1}{12}x = 1$

5. Выяснить, положительным или отрицательным является число $a$, если:

1) $a + 1 < 0$;

2) $a - 1 > 0$.

1) Для того чтобы определить знак числа $a$, необходимо решить заданное неравенство $a + 1 < 0$.

Для нахождения $a$ перенесем 1 из левой части неравенства в правую, изменив при этом его знак на противоположный:

$a < 0 - 1$

$a < -1$

Полученное неравенство показывает, что число $a$ меньше -1. Любое число, которое меньше -1, является отрицательным. Например, -2, -3.5, -100.

Ответ: отрицательным.

2) Аналогично решим второе неравенство $a - 1 > 0$.

Перенесем -1 из левой части неравенства в правую, изменив его знак на противоположный:

$a > 0 + 1$

$a > 1$

Из этого неравенства следует, что число $a$ больше 1. Любое число, которое больше 1, является положительным. Например, 2, 5.8, 42.

Ответ: положительным.