Страница 52 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Умножить обе части данного неравенства на указанное число

(143–144).

143. 1) $3,35 < 4,5$ на 4;

2) $3,8 > 2,4$ на 5;

3) $\frac{5}{6} > \frac{2}{3}$ на -12;

4) $\frac{3}{4} < \frac{7}{8}$ на -16.

Для решения этой задачи нужно воспользоваться свойством числовых неравенств: при умножении обеих частей верного неравенства на одно и то же число, знак неравенства сохраняется, если это число положительное, и меняется на противоположный, если это число отрицательное.

1) Дано неравенство $3,35 < 4,5$. Требуется умножить обе его части на 4.

Число 4 является положительным ($4 > 0$), поэтому знак неравенства «<» сохраняется.

Умножим левую часть: $3,35 \cdot 4 = 13,4$.

Умножим правую часть: $4,5 \cdot 4 = 18$.

В результате получаем неравенство: $13,4 < 18$.

Ответ: $13,4 < 18$.

2) Дано неравенство $3,8 > 2,4$. Требуется умножить обе его части на 5.

Число 5 является положительным ($5 > 0$), поэтому знак неравенства «>» сохраняется.

Умножим левую часть: $3,8 \cdot 5 = 19$.

Умножим правую часть: $2,4 \cdot 5 = 12$.

В результате получаем неравенство: $19 > 12$.

Ответ: $19 > 12$.

3) Дано неравенство $\frac{5}{6} > \frac{2}{3}$. Требуется умножить обе его части на -12.

Число -12 является отрицательным ($-12 < 0$), поэтому знак неравенства «>» меняется на противоположный, то есть на «<».

Умножим левую часть: $\frac{5}{6} \cdot (-12) = 5 \cdot \frac{-12}{6} = 5 \cdot (-2) = -10$.

Умножим правую часть: $\frac{2}{3} \cdot (-12) = 2 \cdot \frac{-12}{3} = 2 \cdot (-4) = -8$.

В результате получаем неравенство: $-10 < -8$.

Ответ: $-10 < -8$.

4) Дано неравенство $\frac{3}{4} < \frac{7}{8}$. Требуется умножить обе его части на -16.

Число -16 является отрицательным ($-16 < 0$), поэтому знак неравенства «<» меняется на противоположный, то есть на «>».

Умножим левую часть: $\frac{3}{4} \cdot (-16) = 3 \cdot \frac{-16}{4} = 3 \cdot (-4) = -12$.

Умножим правую часть: $\frac{7}{8} \cdot (-16) = 7 \cdot \frac{-16}{8} = 7 \cdot (-2) = -14$.

В результате получаем неравенство: $-12 > -14$.

Ответ: $-12 > -14$.

144. 1) $2a > 1$ на 0,5;

2) $4a < -1$ на 0,25;

3) $-4a < -3$ на 0,25;

4) $-2a > -4$ на -0,5.

1) 2a > 1 на 0,5;

Чтобы решить задачу, необходимо умножить обе части неравенства $2a > 1$ на указанное число $0,5$. Так как $0,5$ — это положительное число ($0,5 > 0$), знак неравенства при умножении не меняется.

Выполним умножение:

$(2a) \cdot 0,5 > 1 \cdot 0,5$

$a > 0,5$

Ответ: $a > 0,5$.

2) 4a < -1 на 0,25;

Умножим обе части неравенства $4a < -1$ на $0,25$. Число $0,25$ является положительным ($0,25 > 0$), поэтому знак неравенства '<' сохраняется.

Выполним умножение:

$(4a) \cdot 0,25 < (-1) \cdot 0,25$

$a < -0,25$

Ответ: $a < -0,25$.

3) -4a < -3 на 0,25;

Умножим обе части неравенства $-4a < -3$ на $0,25$. Поскольку множитель $0,25$ положителен, знак неравенства '<' не изменяется.

$(-4a) \cdot 0,25 < (-3) \cdot 0,25$

$-a < -0,75$

Теперь, чтобы найти $a$, необходимо избавиться от знака минуса. Для этого умножим обе части полученного неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с '<' на '>').

$(-a) \cdot (-1) > (-0,75) \cdot (-1)$

$a > 0,75$

Ответ: $a > 0,75$.

4) -2a > -4 на -0,5.

В данном случае мы умножаем обе части неравенства $-2a > -4$ на отрицательное число $-0,5$. Согласно правилам, при умножении неравенства на отрицательное число ($ -0,5 < 0$) его знак '>' должен измениться на противоположный, то есть на '<'.

Выполним умножение и сменим знак неравенства:

$(-2a) \cdot (-0,5) < (-4) \cdot (-0,5)$

$a < 2$

Ответ: $a < 2$.

Разделить обе части данного неравенства на указанное число (145–146).

145. 1) $-2 < 5$ на 2;
2) $4.5 > -10$ на 5;
3) $-25 > -30$ на -5;
4) $-20 < -12$ на -4.

Основное правило, которое используется при решении: при делении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства сохраняется, а при делении на отрицательное число — знак неравенства меняется на противоположный.

1) Разделим обе части неравенства $-2 < 5$ на 2.

Так как мы делим на положительное число ($2 > 0$), знак неравенства $<$ сохраняется.

Выполняем деление левой части: $-2 : 2 = -1$.

Выполняем деление правой части: $5 : 2 = 2,5$.

Записываем получившееся неравенство: $-1 < 2,5$.

Ответ: $-1 < 2,5$.

2) Разделим обе части неравенства $4,5 > -10$ на 5.

Так как мы делим на положительное число ($5 > 0$), знак неравенства $>$ сохраняется.

Выполняем деление левой части: $4,5 : 5 = 0,9$.

Выполняем деление правой части: $-10 : 5 = -2$.

Записываем получившееся неравенство: $0,9 > -2$.

Ответ: $0,9 > -2$.

3) Разделим обе части неравенства $-25 > -30$ на -5.

Так как мы делим на отрицательное число ($-5 < 0$), знак неравенства $>$ необходимо поменять на противоположный, то есть на $<$.

Выполняем деление левой части: $(-25) : (-5) = 5$.

Выполняем деление правой части: $(-30) : (-5) = 6$.

Записываем получившееся неравенство с измененным знаком: $5 < 6$.

Ответ: $5 < 6$.

4) Разделим обе части неравенства $-20 < -12$ на -4.

Так как мы делим на отрицательное число ($-4 < 0$), знак неравенства $<$ необходимо поменять на противоположный, то есть на $>$.

Выполняем деление левой части: $(-20) : (-4) = 5$.

Выполняем деление правой части: $(-12) : (-4) = 3$.

Записываем получившееся неравенство с измененным знаком: $5 > 3$.

Ответ: $5 > 3$.

146. 1) $1,2a < 4,8$ на $1,2;$

2) $2,3a < -4,6$ на $2,3;$

3) $-\frac{2}{3}x < -\frac{1}{4}$ на $-\frac{2}{3};$

4) $-\frac{3}{4}x > \frac{1}{3}$ на $-\frac{3}{4}.$

1) Чтобы решить неравенство $1,2a < 4,8$, разделим обе его части на положительное число $1,2$, указанное в условии. Так как мы делим на положительное число, знак неравенства не изменяется.
$\frac{1,2a}{1,2} < \frac{4,8}{1,2}$
$a < 4$
Ответ: $a < 4$

2) Чтобы решить неравенство $2,3a < -4,6$, разделим обе его части на положительное число $2,3$, указанное в условии. Знак неравенства при делении на положительное число сохраняется.
$\frac{2,3a}{2,3} < \frac{-4,6}{2,3}$
$a < -2$
Ответ: $a < -2$

3) Чтобы решить неравенство $-\frac{2}{3}x < -\frac{1}{4}$, разделим обе его части на отрицательное число $-\frac{2}{3}$, указанное в условии. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с `<` на `>`).
$\frac{-\frac{2}{3}x}{-\frac{2}{3}} > \frac{-\frac{1}{4}}{-\frac{2}{3}}$
$x > (-\frac{1}{4}) \div (-\frac{2}{3})$
$x > (-\frac{1}{4}) \times (-\frac{3}{2})$
$x > \frac{3}{8}$
Ответ: $x > \frac{3}{8}$

4) Дано неравенство $\frac{3}{4}x > \frac{1}{3}$ и указание разделить его на $-\frac{3}{4}$. Следуя этому указанию, разделим обе части неравенства на отрицательное число $-\frac{3}{4}$. При делении на отрицательное число знак неравенства необходимо поменять на противоположный (с `>` на `<`).
$\frac{\frac{3}{4}x}{-\frac{3}{4}} < \frac{\frac{1}{3}}{-\frac{3}{4}}$
$-x < \frac{1}{3} \times (-\frac{4}{3})$
$-x < -\frac{4}{9}$
Теперь, чтобы найти $x$, умножим обе части полученного неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства снова меняется на противоположный (с `<` на `>`).
$(-1) \cdot (-x) > (-1) \cdot (-\frac{4}{9})$
$x > \frac{4}{9}$
Ответ: $x > \frac{4}{9}$

147. Пусть a — положительное число и $a < 1$. Доказать, что:

1) $a^2 < a$;

2) $a^3 < a^2$.

1) Нам дано, что $a$ — положительное число и $a < 1$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $0 < a < 1$.

Для доказательства неравенства $a^2 < a$ возьмем известное из условия неравенство $a < 1$.

Поскольку по условию $a$ является положительным числом ($a > 0$), мы можем умножить обе части этого неравенства на $a$. При умножении на положительное число знак неравенства не меняется.

$a \cdot a < 1 \cdot a$

$a^2 < a$

Таким образом, мы доказали, что если $a$ — положительное число и $a < 1$, то $a^2 < a$.

Ответ: Неравенство $a^2 < a$ доказано.

2) Для доказательства неравенства $a^3 < a^2$ воспользуемся результатом, полученным в предыдущем пункте. Мы уже доказали, что при $0 < a < 1$ выполняется неравенство:

$a^2 < a$

Снова умножим обе части этого верного неравенства на положительное число $a$. Знак неравенства при этом сохранится.

$a^2 \cdot a < a \cdot a$

$a^3 < a^2$

Таким образом, мы доказали, что если $a$ — положительное число и $a < 1$, то $a^3 < a^2$.

Ответ: Неравенство $a^3 < a^2$ доказано.

148. Пусть $a < b$. Сравнить числа:

1) $-4,3a$ и $-4,3b$;

2) $0,19a$ и $0,19b$;

3) $\frac{a}{4}$ и $\frac{b}{4}$;

4) $-\frac{a}{6}$ и $-\frac{b}{6}$;

5) $-2(a + 4)$ и $-2(b + 4)$;

6) $\frac{2}{3}(a - 5,2)$ и $\frac{2}{3}(b - 5,2).$

1) Сравнить $-4,3a$ и $-4,3b$.
По условию дано неравенство $a < b$. Чтобы сравнить заданные выражения, необходимо умножить обе части исходного неравенства на $-4,3$. Так как мы умножаем на отрицательное число ($-4,3 < 0$), знак неравенства должен измениться на противоположный.
$a < b \quad | \cdot (-4,3)$
$-4,3a > -4,3b$
Ответ: $-4,3a > -4,3b$.

2) Сравнить $0,19a$ и $0,19b$.
По условию $a < b$. Умножим обе части этого неравенства на положительное число $0,19$. При умножении на положительное число ($0,19 > 0$) знак неравенства сохраняется.
$a < b \quad | \cdot 0,19$
$0,19a < 0,19b$
Ответ: $0,19a < 0,19b$.

3) Сравнить $\frac{a}{4}$ и $\frac{b}{4}$.
По условию $a < b$. Разделим обе части этого неравенства на положительное число $4$. При делении на положительное число ($4 > 0$) знак неравенства сохраняется.
$a < b \quad | : 4$
$\frac{a}{4} < \frac{b}{4}$
Ответ: $\frac{a}{4} < \frac{b}{4}$.

4) Сравнить $-\frac{a}{6}$ и $-\frac{b}{6}$.
По условию $a < b$. Разделим обе части этого неравенства на отрицательное число $-6$. При делении на отрицательное число ($-6 < 0$) знак неравенства меняется на противоположный.
$a < b \quad | : (-6)$
$-\frac{a}{6} > -\frac{b}{6}$
Ответ: $-\frac{a}{6} > -\frac{b}{6}$.

5) Сравнить $-2(a + 4)$ и $-2(b + 4)$.
По условию $a < b$. Сначала выполним преобразование. Прибавим к обеим частям неравенства число $4$. Знак неравенства при этом не изменится.
$a + 4 < b + 4$
Теперь умножим обе части полученного неравенства на отрицательное число $-2$. При умножении на отрицательное число ($-2 < 0$) знак неравенства изменится на противоположный.
$-2(a + 4) > -2(b + 4)$
Ответ: $-2(a + 4) > -2(b + 4)$.

6) Сравнить $\frac{2}{3}(a - 5,2)$ и $\frac{2}{3}(b - 5,2)$.
По условию $a < b$. Сначала вычтем из обеих частей неравенства число $5,2$. Знак неравенства при этом не изменится.
$a - 5,2 < b - 5,2$
Теперь умножим обе части полученного неравенства на положительное число $\frac{2}{3}$. При умножении на положительное число ($\frac{2}{3} > 0$) знак неравенства сохранится.
$\frac{2}{3}(a - 5,2) < \frac{2}{3}(b - 5,2)$
Ответ: $\frac{2}{3}(a - 5,2) < \frac{2}{3}(b - 5,2)$.

149. Доказать, что:

1) если $5a - 2b > 2a + b$, то $a > b$;

2) если $4a - b < 2a + b$, то $a < b$;

3) если $2a + 2b < 6a - 2b$, то $a > b$;

4) если $4a - 5b > 7a - 8b$, то $a < b$.

1) если $5a - 2b > 2a + b$, то $a > b$;
Для доказательства преобразуем исходное неравенство. Перенесем все члены с переменной $a$ в левую часть, а все члены с переменной $b$ в правую, меняя их знаки при переносе.
$5a - 2a > b + 2b$
Упростим обе части, приведя подобные слагаемые:
$3a > 3b$
Разделим обе части неравенства на 3. Так как мы делим на положительное число, знак неравенства сохраняется:
$a > b$
Таким образом, утверждение доказано.
Ответ: Доказано.

2) если $4a - b < 2a + b$, то $a < b$;
Рассмотрим неравенство $4a - b < 2a + b$. Перенесем слагаемые с $a$ влево, а с $b$ вправо:
$4a - 2a < b + b$
Приведем подобные члены:
$2a < 2b$
Разделим обе части на положительное число 2, знак неравенства при этом не изменится:
$a < b$
Таким образом, утверждение доказано.
Ответ: Доказано.

3) если $2a + 2b < 6a - 2b$, то $a > b$;
Рассмотрим неравенство $2a + 2b < 6a - 2b$. Перенесем слагаемые так, чтобы сгруппировать переменные $a$ и $b$. Перенесем $2a$ вправо и $-2b$ влево:
$2b + 2b < 6a - 2a$
Приведем подобные члены:
$4b < 4a$
Разделим обе части на положительное число 4, знак неравенства не изменится:
$b < a$
Данное неравенство эквивалентно $a > b$. Таким образом, утверждение доказано.
Ответ: Доказано.

4) если $4a - 5b > 7a - 8b$, то $a < b$.
Рассмотрим неравенство $4a - 5b > 7a - 8b$. Перенесем слагаемые с $a$ в правую часть, а с $b$ в левую:
$8b - 5b > 7a - 4a$
Приведем подобные члены:
$3b > 3a$
Разделим обе части на положительное число 3, знак неравенства не изменится:
$b > a$
Данное неравенство эквивалентно $a < b$. Таким образом, утверждение доказано.
Ответ: Доказано.

150. Доказать, что:

1) если $(x-1)(x+2)>(x+1)(x-2)$, то $x>0$;

2) если $(x+1)(x-8)>(x+2)(x-4)$, то $x<0$;

3) если $(x-3)^2<(4+x)(x-4)$, то $x>\frac{25}{6}$;

4) если $(x-3)(3+x)>(x+2)^2$, то $x<-\frac{13}{4}$.

1) Требуется доказать, что если $(x-1)(x+2) > (x+1)(x-2)$, то $x > 0$.

Для доказательства решим данное неравенство. Сначала раскроем скобки в обеих частях.

Левая часть: $(x-1)(x+2) = x^2 + 2x - x - 2 = x^2 + x - 2$.

Правая часть: $(x+1)(x-2) = x^2 - 2x + x - 2 = x^2 - x - 2$.

Неравенство принимает вид:

$x^2 + x - 2 > x^2 - x - 2$

Вычтем из обеих частей $x^2$ и прибавим 2. Это не изменит знак неравенства.

$x > -x$

Прибавим к обеим частям $x$:

$x + x > 0$

$2x > 0$

Разделим обе части на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства сохраняется.

$x > 0$

Мы показали, что исходное неравенство равносильно неравенству $x > 0$. Утверждение доказано.

Ответ: если $(x-1)(x+2) > (x+1)(x-2)$, то $x > 0$.

2) Требуется доказать, что если $(x+1)(x-8) > (x+2)(x-4)$, то $x < 0$.

Решим неравенство. Раскроем скобки в обеих частях.

Левая часть: $(x+1)(x-8) = x^2 - 8x + x - 8 = x^2 - 7x - 8$.

Правая часть: $(x+2)(x-4) = x^2 - 4x + 2x - 8 = x^2 - 2x - 8$.

Неравенство принимает вид:

$x^2 - 7x - 8 > x^2 - 2x - 8$

Вычтем из обеих частей $x^2$ и прибавим 8:

$-7x > -2x$

Прибавим к обеим частям $7x$:

$0 > -2x + 7x$

$0 > 5x$

Разделим обе части на 5. Знак неравенства не меняется.

$0 > x$, что эквивалентно $x < 0$.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: если $(x+1)(x-8) > (x+2)(x-4)$, то $x < 0$.

3) Требуется доказать, что если $(x-3)^2 < (4+x)(x-4)$, то $x > \frac{25}{6}$.

Решим данное неравенство. Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности слева и разности квадратов справа.

Левая часть: $(x-3)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 - 6x + 9$.

Правая часть: $(4+x)(x-4) = (x+4)(x-4) = x^2 - 4^2 = x^2 - 16$.

Неравенство принимает вид:

$x^2 - 6x + 9 < x^2 - 16$

Вычтем $x^2$ из обеих частей:

$-6x + 9 < -16$

Вычтем 9 из обеих частей:

$-6x < -16 - 9$

$-6x < -25$

Разделим обе части на -6. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

$x > \frac{-25}{-6}$

$x > \frac{25}{6}$

Утверждение доказано.

Ответ: если $(x-3)^2 < (4+x)(x-4)$, то $x > \frac{25}{6}$.

4) Требуется доказать, что если $(x-3)(3+x) > (x+2)^2$, то $x < -\frac{13}{4}$.

Решим неравенство. Преобразуем выражения в обеих частях.

Левая часть, используя формулу разности квадратов: $(x-3)(3+x) = (x-3)(x+3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9$.

Правая часть, используя формулу квадрата суммы: $(x+2)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 + 4x + 4$.

Неравенство принимает вид:

$x^2 - 9 > x^2 + 4x + 4$

Вычтем $x^2$ из обеих частей:

$-9 > 4x + 4$

Перенесем 4 в левую часть (вычтем 4 из обеих частей):

$-9 - 4 > 4x$

$-13 > 4x$

Разделим обе части на 4. Знак неравенства не меняется.

$-\frac{13}{4} > x$, что эквивалентно $x < -\frac{13}{4}$.

Утверждение доказано.

Ответ: если $(x-3)(3+x) > (x+2)^2$, то $x < -\frac{13}{4}$.

151. Может ли разность $a-b$ быть:

1) больше суммы $a+b$;

2) меньше суммы $a+b$;

3) равна сумме $a+b$;

4) больше $a$;

5) больше $b$;

6) равна $b$?

Привести примеры.

1) больше суммы a + b
Да, может. Это условие можно записать в виде неравенства: $a - b > a + b$.
Вычтем из обеих частей неравенства $a$:
$-b > b$
Прибавим к обеим частям $b$:
$0 > 2b$
Разделим обе части на 2:
$0 > b$, или $b < 0$.
Следовательно, разность $a - b$ больше суммы $a + b$ тогда, когда число $b$ является отрицательным.
Пример: пусть $a = 5$ и $b = -3$.
Разность $a - b = 5 - (-3) = 8$.
Сумма $a + b = 5 + (-3) = 2$.
Так как $8 > 2$, условие выполняется.
Ответ: да, может, если $b < 0$.

2) меньше суммы a + b
Да, может. Это условие можно записать в виде неравенства: $a - b < a + b$.
Вычтем из обеих частей неравенства $a$:
$-b < b$
Прибавим к обеим частям $b$:
$0 < 2b$
Разделим обе части на 2:
$0 < b$, или $b > 0$.
Следовательно, разность $a - b$ меньше суммы $a + b$ тогда, когда число $b$ является положительным.
Пример: пусть $a = 5$ и $b = 3$.
Разность $a - b = 5 - 3 = 2$.
Сумма $a + b = 5 + 3 = 8$.
Так как $2 < 8$, условие выполняется.
Ответ: да, может, если $b > 0$.

3) равна сумме a + b
Да, может. Это условие можно записать в виде равенства: $a - b = a + b$.
Вычтем из обеих частей равенства $a$:
$-b = b$
Прибавим к обеим частям $b$:
$0 = 2b$
Отсюда следует, что $b = 0$.
Следовательно, разность $a - b$ равна сумме $a + b$ тогда, когда $b = 0$.
Пример: пусть $a = 7$ и $b = 0$.
Разность $a - b = 7 - 0 = 7$.
Сумма $a + b = 7 + 0 = 7$.
Так как $7 = 7$, условие выполняется.
Ответ: да, может, если $b = 0$.

4) больше a
Да, может. Это условие можно записать в виде неравенства: $a - b > a$.
Вычтем из обеих частей неравенства $a$:
$-b > 0$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$b < 0$.
Следовательно, разность $a - b$ больше $a$ тогда, когда число $b$ является отрицательным.
Пример: пусть $a = 10$ и $b = -2$.
Разность $a - b = 10 - (-2) = 12$.
Так как $12 > 10$, условие выполняется.
Ответ: да, может, если $b < 0$.

5) больше b
Да, может. Это условие можно записать в виде неравенства: $a - b > b$.
Прибавим к обеим частям неравенства $b$:
$a > 2b$.
Это неравенство выполняется для любых чисел $a$ и $b$, удовлетворяющих данному условию.
Пример: пусть $a = 5$ и $b = 2$.
Проверим условие: $5 > 2 \cdot 2$, то есть $5 > 4$. Условие верное.
Разность $a - b = 5 - 2 = 3$.
Так как $3 > 2$, условие выполняется.
Ответ: да, может, если $a > 2b$.

6) равна b
Да, может. Это условие можно записать в виде равенства: $a - b = b$.
Прибавим к обеим частям равенства $b$:
$a = 2b$.
Следовательно, разность $a - b$ равна $b$ тогда, когда $a$ вдвое больше, чем $b$.
Пример: пусть $a = 10$ и $b = 5$.
Разность $a - b = 10 - 5 = 5$.
Так как $5 = 5$, условие выполняется.
Ответ: да, может, если $a = 2b$.