Номер 150, страница 52 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 8. Основные свойства числовых неравенств. Глава 2. Неравенства - номер 150, страница 52.

Условие.

150. Доказать, что:

1) если $(x-1)(x+2)>(x+1)(x-2)$, то $x>0$;

2) если $(x+1)(x-8)>(x+2)(x-4)$, то $x<0$;

3) если $(x-3)^2<(4+x)(x-4)$, то $x>\frac{25}{6}$;

4) если $(x-3)(3+x)>(x+2)^2$, то $x<-\frac{13}{4}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Требуется доказать, что если $(x-1)(x+2) > (x+1)(x-2)$, то $x > 0$.

Для доказательства решим данное неравенство. Сначала раскроем скобки в обеих частях.

Левая часть: $(x-1)(x+2) = x^2 + 2x - x - 2 = x^2 + x - 2$.

Правая часть: $(x+1)(x-2) = x^2 - 2x + x - 2 = x^2 - x - 2$.

Неравенство принимает вид:

$x^2 + x - 2 > x^2 - x - 2$

Вычтем из обеих частей $x^2$ и прибавим 2. Это не изменит знак неравенства.

$x > -x$

Прибавим к обеим частям $x$:

$x + x > 0$

$2x > 0$

Разделим обе части на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства сохраняется.

$x > 0$

Мы показали, что исходное неравенство равносильно неравенству $x > 0$. Утверждение доказано.

Ответ: если $(x-1)(x+2) > (x+1)(x-2)$, то $x > 0$.

2) Требуется доказать, что если $(x+1)(x-8) > (x+2)(x-4)$, то $x < 0$.

Решим неравенство. Раскроем скобки в обеих частях.

Левая часть: $(x+1)(x-8) = x^2 - 8x + x - 8 = x^2 - 7x - 8$.

Правая часть: $(x+2)(x-4) = x^2 - 4x + 2x - 8 = x^2 - 2x - 8$.

Неравенство принимает вид:

$x^2 - 7x - 8 > x^2 - 2x - 8$

Вычтем из обеих частей $x^2$ и прибавим 8:

$-7x > -2x$

Прибавим к обеим частям $7x$:

$0 > -2x + 7x$

$0 > 5x$

Разделим обе части на 5. Знак неравенства не меняется.

$0 > x$, что эквивалентно $x < 0$.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: если $(x+1)(x-8) > (x+2)(x-4)$, то $x < 0$.

3) Требуется доказать, что если $(x-3)^2 < (4+x)(x-4)$, то $x > \frac{25}{6}$.

Решим данное неравенство. Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности слева и разности квадратов справа.

Левая часть: $(x-3)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 - 6x + 9$.

Правая часть: $(4+x)(x-4) = (x+4)(x-4) = x^2 - 4^2 = x^2 - 16$.

Неравенство принимает вид:

$x^2 - 6x + 9 < x^2 - 16$

Вычтем $x^2$ из обеих частей:

$-6x + 9 < -16$

Вычтем 9 из обеих частей:

$-6x < -16 - 9$

$-6x < -25$

Разделим обе части на -6. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

$x > \frac{-25}{-6}$

$x > \frac{25}{6}$

Утверждение доказано.

Ответ: если $(x-3)^2 < (4+x)(x-4)$, то $x > \frac{25}{6}$.

4) Требуется доказать, что если $(x-3)(3+x) > (x+2)^2$, то $x < -\frac{13}{4}$.

Решим неравенство. Преобразуем выражения в обеих частях.

Левая часть, используя формулу разности квадратов: $(x-3)(3+x) = (x-3)(x+3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9$.

Правая часть, используя формулу квадрата суммы: $(x+2)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 + 4x + 4$.

Неравенство принимает вид:

$x^2 - 9 > x^2 + 4x + 4$

Вычтем $x^2$ из обеих частей:

$-9 > 4x + 4$

Перенесем 4 в левую часть (вычтем 4 из обеих частей):

$-9 - 4 > 4x$

$-13 > 4x$

Разделим обе части на 4. Знак неравенства не меняется.

$-\frac{13}{4} > x$, что эквивалентно $x < -\frac{13}{4}$.

Утверждение доказано.

Ответ: если $(x-3)(3+x) > (x+2)^2$, то $x < -\frac{13}{4}$.