Номер 154, страница 53 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 8. Основные свойства числовых неравенств. Глава 2. Неравенства - номер 154, страница 53.

Условие.

154. Верно ли, что:

1) если $a<b$, то $\frac{a}{b}<1$;

2) если $\frac{a}{b}>1$, то $a>b$;

3) если $\frac{a}{b}<1$, то $\frac{b}{a}>1$;

4) если $a^2<1$, то $a<1$;

5) если $a>b$, то $a^2>b^2$;

6) если $a<b$, то $ab^2<b^3$?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) если $a<b$, то $\frac{a}{b}<1$;
Данное утверждение не всегда верно. Правильность этого утверждения зависит от знака числа $b$.
Если $b > 0$, то при делении неравенства $a < b$ на $b$ знак неравенства сохраняется, и мы получаем $\frac{a}{b} < \frac{b}{b}$, то есть $\frac{a}{b} < 1$. В этом случае утверждение верно.
Однако, если $b < 0$, то при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $\frac{a}{b} > \frac{b}{b}$, то есть $\frac{a}{b} > 1$. В этом случае утверждение неверно.
Контрпример: пусть $a = -3$ и $b = -2$. Условие $a < b$ выполняется, так как $-3 < -2$. Но $\frac{a}{b} = \frac{-3}{-2} = 1.5$, что больше 1. Следовательно, утверждение в общем виде неверно.
Ответ: Неверно.

2) если $\frac{a}{b}>1$, то $a>b$;
Данное утверждение также не всегда верно. Его справедливость зависит от знака $b$.
Если $b > 0$, то умножив неравенство $\frac{a}{b} > 1$ на $b$, мы сохраним знак неравенства и получим $a > b$. В этом случае утверждение верно.
Если же $b < 0$, то при умножении на отрицательное число знак неравенства изменится на противоположный, и мы получим $a < b$. В этом случае утверждение неверно.
Контрпример: пусть $a = -3$ и $b = -2$. Тогда $\frac{a}{b} = \frac{-3}{-2} = 1.5$, что больше 1. Условие выполнено. Однако, неравенство $a > b$ ($-3 > -2$) является ложным. Таким образом, утверждение неверно.
Ответ: Неверно.

3) если $\frac{a}{b}<1$, то $\frac{b}{a}>1$;
Утверждение неверно. Оно верно только для случая $0 < \frac{a}{b} < 1$. Если же дробь $\frac{a}{b}$ отрицательна, то и обратная ей дробь $\frac{b}{a}$ будет отрицательной, а отрицательное число не может быть больше 1. (При этом, для существования дроби $\frac{b}{a}$ должно выполняться $a \neq 0$).
Контрпример: пусть $a = -1$ и $b = 2$. Тогда $\frac{a}{b} = \frac{-1}{2} = -0.5$. Условие $\frac{a}{b} < 1$ выполнено. Однако, обратная дробь $\frac{b}{a} = \frac{2}{-1} = -2$. Неравенство $\frac{b}{a} > 1$ (то есть $-2 > 1$) неверно.
Ответ: Неверно.

4) если $a^2<1$, то $a<1$;
Это утверждение верно. Решим неравенство $a^2 < 1$.
$a^2 - 1 < 0$
$(a-1)(a+1) < 0$
Решением этого неравенства является интервал $-1 < a < 1$. Любое число $a$, принадлежащее этому интервалу, меньше 1. Следовательно, из $a^2 < 1$ всегда следует, что $a < 1$.
Ответ: Верно.

5) если $a>b$, то $a^2>b^2$;
Утверждение неверно. Возведение в квадрат обеих частей неравенства сохраняет знак неравенства только если обе части неотрицательны. Если хотя бы одна часть отрицательна, результат может быть другим.
Контрпример: пусть $a = 1$ и $b = -2$. Условие $a > b$ выполняется, так как $1 > -2$.
Возведем в квадрат: $a^2 = 1^2 = 1$, $b^2 = (-2)^2 = 4$.
Неравенство $a^2 > b^2$ принимает вид $1 > 4$, что ложно.
Другой контрпример: $a = -2, b = -3$. Условие $a>b$ выполняется ($-2 > -3$). Но $a^2=4$, $b^2=9$, и неравенство $4>9$ ложно.
Ответ: Неверно.

6) если $a<b$, то $ab^2<b^3$?
Утверждение неверно. Преобразуем неравенство $ab^2 < b^3$:
$ab^2 - b^3 < 0$
$b^2(a-b) < 0$
Из условия $a < b$ следует, что $a - b < 0$. Выражение $b^2$ всегда неотрицательно ($b^2 \ge 0$).
Если $b \neq 0$, то $b^2 > 0$, и произведение $b^2(a-b)$ будет произведением положительного числа на отрицательное, то есть будет отрицательным. В этом случае неравенство $b^2(a-b) < 0$ верно.
Однако, если $b = 0$, то неравенство принимает вид $0 \cdot (a-0) < 0$, что упрощается до $0 < 0$. Это неравенство ложно.
Контрпример: пусть $b=0$ и $a=-1$. Условие $a<b$ выполняется ($-1 < 0$). Подставим значения в исходное неравенство: $(-1) \cdot 0^2 < 0^3$, что приводит к $0 < 0$. Это неверно. Следовательно, утверждение в общем виде неверно.
Ответ: Неверно.