Номер 3, страница 56 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 9. Сложение и умножение неравенств. Глава 2. Неравенства - номер 3, страница 56.

Условие.

3. Обосновать, почему $a^2 < b^2$, если известно, что $a < b$, где $a$ и $b$ — положительные числа.

Решение 3.

Решение 4.

Чтобы обосновать, почему из $a < b$ следует $a^2 < b^2$ для положительных чисел $a$ и $b$, можно рассмотреть разность $b^2 - a^2$. Если эта разность будет положительной, то утверждение $b^2 > a^2$ (или, что то же самое, $a^2 < b^2$) будет доказано.

Применим формулу разности квадратов:

$b^2 - a^2 = (b - a)(b + a)$

Теперь проанализируем знаки каждого из множителей в правой части выражения, исходя из условий задачи:

1. Множитель $(b - a)$: По условию нам дано, что $a < b$. Если перенести $a$ в правую часть неравенства, мы получим $0 < b - a$. Это означает, что разность $(b - a)$ является положительным числом.

2. Множитель $(b + a)$: По условию $a$ и $b$ — положительные числа, то есть $a > 0$ и $b > 0$. Сумма двух положительных чисел всегда является положительным числом. Следовательно, множитель $(b + a)$ также положителен.

Таким образом, выражение $b^2 - a^2$ представляет собой произведение двух положительных чисел: $(b - a) > 0$ и $(b + a) > 0$. Произведение двух положительных чисел всегда положительно.

Значит, $(b - a)(b + a) > 0$, и, следовательно, $b^2 - a^2 > 0$.

Из неравенства $b^2 - a^2 > 0$ напрямую следует, что $b^2 > a^2$, или $a^2 < b^2$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, что $a^2 < b^2$ при $a < b$ для положительных $a$ и $b$, верно. Это следует из того, что разность $b^2 - a^2$ можно представить в виде произведения $(b-a)(b+a)$. Так как $a < b$, то множитель $(b-a)$ положителен. Так как $a$ и $b$ положительны, то их сумма $(b+a)$ также положительна. Произведение двух положительных чисел всегда положительно, поэтому $b^2 - a^2 > 0$, что равносильно $a^2 < b^2$.