Номер 157, страница 56 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 9. Сложение и умножение неравенств. Глава 2. Неравенства - номер 157, страница 56.

Условие.

157. Выполнить умножение неравенств:

1) $2\frac{2}{3} > 1\frac{1}{3}$ и $12 > 6$;

2) $6\frac{1}{4} < 9\frac{2}{3}$ и $4 < 6$;

3) $x - 2 > 1$ и $x + 2 > 4$;

4) $4 < 2x + 1$ и $3 < 2x - 1$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) $2\frac{2}{3} > 1\frac{1}{3}$ и $12 > 6$

Для выполнения умножения неравенств необходимо, чтобы все их части были положительны. В данном случае все числа ($2\frac{2}{3}$, $1\frac{1}{3}$, $12$, $6$) положительны. Так как знаки у неравенств одинаковые ('>'), мы можем их перемножить почленно, сохранив знак неравенства.

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$
$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$

Теперь выполним умножение левых и правых частей неравенств:
Левая часть: $2\frac{2}{3} \cdot 12 = \frac{8}{3} \cdot 12 = 8 \cdot 4 = 32$
Правая часть: $1\frac{1}{3} \cdot 6 = \frac{4}{3} \cdot 6 = 4 \cdot 2 = 8$

Результатом будет неравенство:
$32 > 8$

Ответ: $32 > 8$.

2) $6\frac{1}{4} < 9\frac{2}{3}$ и $4 < 6$

Все части данных неравенств ($6\frac{1}{4}$, $9\frac{2}{3}$, $4$, $6$) являются положительными числами. Знаки у неравенств одинаковые ('<'), поэтому мы можем их перемножить почленно.

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$6\frac{1}{4} = \frac{6 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{25}{4}$
$9\frac{2}{3} = \frac{9 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{29}{3}$

Умножим левые и правые части:
Левая часть: $6\frac{1}{4} \cdot 4 = \frac{25}{4} \cdot 4 = 25$
Правая часть: $9\frac{2}{3} \cdot 6 = \frac{29}{3} \cdot 6 = 29 \cdot 2 = 58$

Получаем неравенство:
$25 < 58$

Ответ: $25 < 58$.

3) $x-2 > 1$ и $x+2 > 4$

Для умножения этих неравенств нужно убедиться, что все их части положительны.
Из первого неравенства $x-2 > 1$ следует, что $x > 3$.
Из второго неравенства $x+2 > 4$ следует, что $x > 2$.
Общее условие для $x$ — это $x > 3$. При этом условии все части исходных неравенств ($x-2$, $1$, $x+2$, $4$) будут положительными.

Так как оба неравенства имеют одинаковый знак ('>'), мы можем их перемножить:
$(x-2)(x+2) > 1 \cdot 4$

Раскроем скобки в левой части, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$x^2 - 2^2 > 4$
$x^2 - 4 > 4$

Ответ: $x^2 - 4 > 4$.

4) $4 < 2x+1$ и $3 < 2x-1$

Убедимся, что все части неравенств положительны.
Из первого неравенства $4 < 2x+1$ следует $3 < 2x$, то есть $x > 1.5$.
Из второго неравенства $3 < 2x-1$ следует $4 < 2x$, то есть $x > 2$.
Общее условие для $x$ — это $x > 2$. При $x>2$ все части неравенств ($4$, $2x+1$, $3$, $2x-1$) положительны.

Оба неравенства имеют одинаковый знак ('<'), поэтому их можно перемножить:
$4 \cdot 3 < (2x+1)(2x-1)$

Выполним вычисления и упростим правую часть по формуле разности квадратов:
$12 < (2x)^2 - 1^2$
$12 < 4x^2 - 1$

Ответ: $12 < 4x^2 - 1$.