Номер 162, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 9. Сложение и умножение неравенств. Глава 2. Неравенства - номер 162, страница 57.

Условие.

162. Пусть $a > 2$, $b > 3$, $c > 1$. Доказать, что:

1) $a + b + c > 6;$

2) $abc > 6;$

3) $2ab + 3abc > 30;$

4) $abc + 2ac > 10;$

5) $a + ab + abc^2 > 13;$

6) $a^2 + b^2 + c^2 > 13.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

Нам даны три неравенства: $a > 2$, $b > 3$ и $c > 1$. Поскольку все неравенства являются строгими и одного знака (больше), мы можем их почленно сложить. Это свойство числовых неравенств.

$a + b + c > 2 + 3 + 1$

Выполнив сложение чисел в правой части неравенства, получаем:

$a + b + c > 6$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

2)

Из условий $a > 2$, $b > 3$ и $c > 1$ следует, что все числа $a, b, c$ положительны. Согласно свойству числовых неравенств, если все части неравенств одного знака положительны, их можно почленно перемножить.

$a \cdot b \cdot c > 2 \cdot 3 \cdot 1$

Выполнив умножение в правой части, получаем:

$abc > 6$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

3)

Рассмотрим левую часть неравенства $2ab + 3abc > 30$ и преобразуем ее, вынеся за скобки общий множитель $ab$:

$2ab + 3abc = ab(2 + 3c)$

Теперь оценим значение каждого из множителей, используя исходные условия $a > 2$, $b > 3$, $c > 1$.

Так как $a > 2$ и $b > 3$, то их произведение $ab > 2 \cdot 3 = 6$.

Так как $c > 1$, то $3c > 3 \cdot 1 = 3$. Тогда $2 + 3c > 2 + 3 = 5$.

Поскольку оба множителя ($ab$ и $2+3c$) положительны, мы можем перемножить полученные для них неравенства:

$ab(2 + 3c) > 6 \cdot 5$

$ab(2 + 3c) > 30$

Следовательно, $2ab + 3abc > 30$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

4)

Для доказательства неравенства $abc + 2ac > 10$ преобразуем его левую часть, вынеся за скобки общий множитель $ac$:

$abc + 2ac = ac(b + 2)$

Оценим каждый из множителей на основе исходных данных $a > 2$, $b > 3$, $c > 1$.

Из $a > 2$ и $c > 1$ следует, что $ac > 2 \cdot 1 = 2$.

Из $b > 3$ следует, что $b + 2 > 3 + 2 = 5$.

Так как оба множителя ($ac$ и $b+2$) положительны, перемножим полученные неравенства:

$ac(b + 2) > 2 \cdot 5$

$ac(b + 2) > 10$

Следовательно, $abc + 2ac > 10$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

5)

Чтобы доказать неравенство $a + ab + abc^2 > 13$, оценим каждое слагаемое в его левой части по отдельности.

1. Из условия имеем $a > 2$.

2. Из $a > 2$ и $b > 3$ следует, что $ab > 2 \cdot 3 = 6$.

3. Из $c > 1$ следует, что $c^2 > 1^2 = 1$. Тогда из $a > 2$, $b > 3$ и $c^2 > 1$ следует, что $abc^2 > 2 \cdot 3 \cdot 1 = 6$.

Теперь сложим полученные для слагаемых неравенства:

$a + ab + abc^2 > 2 + 6 + 6$

$a + ab + abc^2 > 14$

Поскольку $14 > 13$, то доказываемое неравенство $a + ab + abc^2 > 13$ тем более верно.

Ответ: Неравенство доказано.

6)

Для доказательства неравенства $a^2 + b^2 + c^2 > 13$ воспользуемся исходными условиями $a > 2$, $b > 3$, $c > 1$.

Так как все числа $a, b, c$ положительны, мы можем возвести обе части каждого неравенства в квадрат, при этом знак неравенства сохранится.

Из $a > 2$ следует $a^2 > 2^2$, то есть $a^2 > 4$.

Из $b > 3$ следует $b^2 > 3^2$, то есть $b^2 > 9$.

Из $c > 1$ следует $c^2 > 1^2$, то есть $c^2 > 1$.

Сложим полученные три неравенства:

$a^2 + b^2 + c^2 > 4 + 9 + 1$

$a^2 + b^2 + c^2 > 14$

Так как $14 > 13$, то неравенство $a^2 + b^2 + c^2 > 13$ является истинным.

Ответ: Неравенство доказано.