Номер 165, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 9. Сложение и умножение неравенств. Глава 2. Неравенства - номер 165, страница 57.

Условие.

165. Доказать, что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри прямоугольника, до его вершин больше полупериметра прямоугольника.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Пусть дан прямоугольник ABCD со сторонами $AB = CD = a$ и $BC = AD = b$. Полупериметр прямоугольника равен $p = a+b$.

Пусть P — произвольная точка, расположенная внутри этого прямоугольника. Необходимо доказать, что сумма расстояний от точки P до вершин прямоугольника, то есть $PA + PB + PC + PD$, больше его полупериметра.

Доказательство

Доказательство основано на применении неравенства треугольника, согласно которому сумма длин двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны.

1. Соединим точку P с вершинами A и B, а также с вершинами C и D. Мы получим два треугольника: ΔAPB и ΔDPC. Так как точка P лежит внутри прямоугольника, она не может лежать на отрезках AB или CD, поэтому эти треугольники невырожденные.
Применим для них неравенство треугольника:
Для ΔAPB: $PA + PB > AB = a$
Для ΔDPC: $PC + PD > CD = a$
Сложив эти два неравенства, получим:
$(PA + PB) + (PC + PD) > a + a$
$PA + PB + PC + PD > 2a$ (1)

2. Теперь соединим точку P с вершинами B и C, а также с вершинами A и D. Мы получим треугольники ΔBPC и ΔAPD.
Применим для них неравенство треугольника:
Для ΔBPC: $PB + PC > BC = b$
Для ΔAPD: $PA + PD > AD = b$
Сложив эти два неравенства, получим:
$(PB + PC) + (PA + PD) > b + b$
$PA + PB + PC + PD > 2b$ (2)

3. Обозначим искомую сумму расстояний как $S = PA + PB + PC + PD$. Из (1) и (2) мы имеем два неравенства:
$S > 2a$
$S > 2b$
Сложим левые и правые части этих неравенств:
$S + S > 2a + 2b$
$2S > 2(a+b)$
Разделим обе части на 2:
$S > a+b$

Таким образом, мы доказали, что $PA + PB + PC + PD > a+b$, то есть сумма расстояний от любой точки внутри прямоугольника до его вершин всегда больше его полупериметра. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение задачи доказано.