Номер 158, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 9. Сложение и умножение неравенств. Глава 2. Неравенства - номер 158, страница 57.

Условие.

158. Доказать, что если $a > 2$ и $b > 5$, то:

1) $3a + 2b > 16$;

2) $ab - 1 > 9$;

3) $a^2 + b^2 > 29$;

4) $a^3 + b^3 > 133$;

5) $(a+b)^2 > 35$;

6) $(a+b)^3 > 340$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)Для доказательства неравенства $3a + 2b > 16$ воспользуемся исходными условиями: $a > 2$ и $b > 5$.

Используя свойства числовых неравенств, умножим первое неравенство на 3, а второе на 2. Так как множители (3 и 2) положительны, знаки неравенств сохранятся:

$a > 2 \implies 3a > 3 \cdot 2 \implies 3a > 6$

$b > 5 \implies 2b > 2 \cdot 5 \implies 2b > 10$

Теперь сложим почленно полученные неравенства $3a > 6$ и $2b > 10$:
$3a + 2b > 6 + 10$

$3a + 2b > 16$
Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

---

2)Для доказательства неравенства $ab - 1 > 9$ используем те же условия: $a > 2$ и $b > 5$.

Поскольку $a$ и $b$ — положительные числа (так как $a > 2$ и $b > 5$), мы можем перемножить эти неравенства почленно:
$a \cdot b > 2 \cdot 5$

$ab > 10$

Теперь вычтем из обеих частей полученного неравенства число 1:
$ab - 1 > 10 - 1$

$ab - 1 > 9$
Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

---

3)Для доказательства неравенства $a^2 + b^2 > 29$ воспользуемся условиями $a > 2$ и $b > 5$.

Поскольку обе части неравенства $a > 2$ положительны, мы можем возвести их в квадрат:
$a^2 > 2^2 \implies a^2 > 4$

Аналогично для неравенства $b > 5$:
$b^2 > 5^2 \implies b^2 > 25$

Сложим почленно полученные неравенства $a^2 > 4$ и $b^2 > 25$:
$a^2 + b^2 > 4 + 25$

$a^2 + b^2 > 29$
Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

---

4)Для доказательства неравенства $a^3 + b^3 > 133$ воспользуемся условиями $a > 2$ и $b > 5$.

Возведем обе части неравенства $a > 2$ в куб. Знак неравенства сохранится, так как основания положительны:
$a^3 > 2^3 \implies a^3 > 8$

Аналогично для неравенства $b > 5$:
$b^3 > 5^3 \implies b^3 > 125$

Сложим почленно полученные неравенства $a^3 > 8$ и $b^3 > 125$:
$a^3 + b^3 > 8 + 125$

$a^3 + b^3 > 133$
Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

---

5)Для доказательства неравенства $(a + b)^2 > 35$ воспользуемся условиями $a > 2$ и $b > 5$.

Сложим исходные неравенства почленно:
$a + b > 2 + 5$

$a + b > 7$

Поскольку $a + b > 7$, то $a+b$ — положительное число. Возведем обе части неравенства в квадрат:
$(a + b)^2 > 7^2$

$(a + b)^2 > 49$

Так как $49 > 35$, то из неравенства $(a + b)^2 > 49$ следует, что $(a + b)^2 > 35$. Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

---

6)Для доказательства неравенства $(a + b)^3 > 340$ воспользуемся условиями $a > 2$ и $b > 5$.

Как и в предыдущем пункте, сложим исходные неравенства:
$a + b > 7$

Поскольку $a+b$ — положительное число, возведем обе части этого неравенства в куб:
$(a + b)^3 > 7^3$

Вычислим $7^3$: $7^3 = 7 \cdot 49 = 343$.
Следовательно, $(a + b)^3 > 343$.

Так как $343 > 340$, то из неравенства $(a + b)^3 > 343$ следует, что $(a + b)^3 > 340$. Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.