Номер 161, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 9. Сложение и умножение неравенств. Глава 2. Неравенства - номер 161, страница 57.

Условие.

161. Пусть $a<2$, $b>3$. Доказать, что:

1) $a+3<b+2$;

2) $a-1<b-2$;

3) $b-3>a-2$;

4) $2b>2a+2$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Докажем неравенство $a+3 < b+2$. Для этого преобразуем его, перенеся члены с переменными в левую часть, а числовые константы — в правую. Неравенство примет вид $a - b < 2 - 3$, что равносильно $a - b < -1$. Теперь докажем справедливость неравенства $a - b < -1$, используя исходные условия: $a < 2$ и $b > 3$. Умножим обе части неравенства $b > 3$ на -1. При этом знак неравенства изменится на противоположный: $-b < -3$. Теперь сложим почленно два верных неравенства: $a < 2$ и $-b < -3$. $a + (-b) < 2 + (-3)$ $a - b < -1$ Так как мы доказали равносильное неравенство, то и исходное неравенство $a+3 < b+2$ является верным.
Ответ: Неравенство доказано.

2) Докажем неравенство $a-1 < b-2$. Преобразуем его, сгруппировав переменные и константы: $a - b < -2 + 1$, что равносильно $a - b < -1$. Как было показано в предыдущем пункте, из условий $a < 2$ и $b > 3$ следует, что $a - b < -1$. Следовательно, исходное неравенство $a - 1 < b - 2$ также является верным.
Ответ: Неравенство доказано.

3) Докажем, что $b - 3 > a - 2$. Преобразуем неравенство, перенеся переменные в одну сторону, а числа — в другую: $b - a > 3 - 2$, что равносильно $b - a > 1$. Докажем это неравенство, используя исходные данные. По условию $b > 3$. Из условия $a < 2$ следует, что $-a > -2$ (при умножении на -1 знак неравенства меняется на противоположный). Сложим почленно два полученных неравенства: $b > 3$ и $-a > -2$. $b + (-a) > 3 + (-2)$ $b - a > 1$ Таким образом, исходное неравенство $b - 3 > a - 2$ доказано.
Ответ: Неравенство доказано.

4) Требуется доказать, что $2b > 2a + 2$. Преобразуем это неравенство, перенеся $2a$ в левую часть: $2b - 2a > 2$. Теперь разделим обе части на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства сохраняется: $b - a > 1$. Справедливость этого неравенства была доказана в предыдущем пункте. Исходя из $a < 2$ и $b > 3$, мы получили, что $b - a > 1$. Так как неравенство $b - a > 1$ верно, то и равносильное ему исходное неравенство $2b > 2a + 2$ также верно.
Ответ: Неравенство доказано.