Номер 166, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 9. Сложение и умножение неравенств. Глава 2. Неравенства - номер 166, страница 57.

Условие.

166. Доказать, что:

1) если $x+y>5$ и $x<2$, то $y>3$;

2) если $x-y<-3$ и $x>4$, то $y>7$;

3) если $a-3b<5$ и $a>-4$, то $b>-3$;

4) если $2a+3b>1$ и $a<2$, то $b>-1$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Даны неравенства $x+y>5$ и $x<2$.

Из первого неравенства выразим $y$: $y > 5-x$.

Преобразуем второе неравенство. Умножим обе части неравенства $x<2$ на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $-x > -2$.

Теперь прибавим к обеим частям полученного неравенства число 5: $5-x > 5-2$, что равносильно $5-x > 3$.

Таким образом, мы имеем $y > 5-x$ и $5-x > 3$. Согласно свойству транзитивности для неравенств ($A > B$ и $B > C$ влечет $A > C$), отсюда следует, что $y>3$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Даны неравенства $x-y<-3$ и $x>4$.

Из первого неравенства выразим $y$. Для этого перенесём $y$ в правую часть, а $-3$ в левую: $x+3 < y$, что эквивалентно $y > x+3$.

Рассмотрим второе неравенство $x > 4$. Прибавим к обеим его частям число 3: $x+3 > 4+3$, что даёт $x+3 > 7$.

Мы получили два соотношения: $y > x+3$ и $x+3 > 7$. По свойству транзитивности, из них следует, что $y > 7$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

3) Даны неравенства $a-3b<5$ и $a>-4$.

Из первого неравенства выразим $b$. Перенесём $3b$ вправо, а 5 влево: $a-5 < 3b$.

Разделим обе части на 3 (знак неравенства не меняется, так как $3>0$): $\frac{a-5}{3} < b$, или $b > \frac{a-5}{3}$.

Теперь преобразуем второе данное неравенство $a>-4$. Вычтем из обеих частей 5: $a-5 > -4-5$, что даёт $a-5 > -9$.

Разделим обе части на 3: $\frac{a-5}{3} > \frac{-9}{3}$, то есть $\frac{a-5}{3} > -3$.

Сопоставляя результаты, имеем $b > \frac{a-5}{3}$ и $\frac{a-5}{3} > -3$. Отсюда по свойству транзитивности следует, что $b > -3$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

4) Даны неравенства $2a+3b>1$ и $a<2$.

Из первого неравенства $2a+3b>1$ выразим $b$. Сначала вычтем $2a$ из обеих частей: $3b > 1-2a$.

Затем разделим обе части на 3: $b > \frac{1-2a}{3}$.

Теперь используем второе неравенство $a<2$. Умножим его на $-2$, изменив знак неравенства на противоположный: $-2a > -4$.

Прибавим 1 к обеим частям: $1-2a > 1-4$, то есть $1-2a > -3$.

Разделим последнее неравенство на 3: $\frac{1-2a}{3} > \frac{-3}{3}$, что даёт $\frac{1-2a}{3} > -1$.

Мы получили, что $b > \frac{1-2a}{3}$ и $\frac{1-2a}{3} > -1$. Применяя свойство транзитивности, заключаем, что $b > -1$.

Ответ: Что и требовалось доказать.