Номер 170, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 9. Сложение и умножение неравенств. Глава 2. Неравенства - номер 170, страница 57.

Условие.

170. Пусть $a$ и $b$ — положительные числа и $n$ — натуральное число. Доказать, что если $a^n > b^n$, то $a > b$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного.

Дано: $a$ и $b$ — положительные числа ($a > 0, b > 0$), $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), и выполняется неравенство $a^n > b^n$.

Требуется доказать: $a > b$.

Предположим обратное, то есть что утверждение $a > b$ неверно. По закону трихотомии для действительных чисел, если $a$ не больше $b$, то возможно только два варианта: либо $a = b$, либо $a < b$. Рассмотрим оба этих случая.

Случай 1: $a = b$

Если $a = b$, то возводя обе части этого равенства в натуральную степень $n$, мы получим $a^n = b^n$. Это прямо противоречит исходному условию $a^n > b^n$. Следовательно, этот случай невозможен.

Случай 2: $a < b$

Рассмотрим функцию $f(x) = x^n$ при $x > 0$. Найдем её производную: $f'(x) = n \cdot x^{n-1}$. Поскольку по условию $n$ — натуральное число ($n \ge 1$) и мы рассматриваем функцию для $x > 0$, то оба множителя $n$ и $x^{n-1}$ положительны. Следовательно, производная $f'(x) > 0$ для всех $x > 0$.

Положительная производная означает, что функция $f(x) = x^n$ является строго возрастающей на интервале $(0, +\infty)$.

Из свойства строго возрастающей функции следует, что для любых двух положительных чисел, если $a < b$, то должно выполняться и неравенство $f(a) < f(b)$, то есть $a^n < b^n$.

Этот результат ($a^n < b^n$) также противоречит исходному условию $a^n > b^n$. Следовательно, и этот случай невозможен.

Мы показали, что оба варианта, составляющие наше предположение ($a = b$ и $a < b$), приводят к противоречию с условием задачи. Это означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Единственная оставшаяся возможность — это $a > b$.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что если для положительных чисел $a$, $b$ и натурального числа $n$ выполняется неравенство $a^n > b^n$, то из этого следует, что $a > b$.