Номер 169, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 9. Сложение и умножение неравенств. Глава 2. Неравенства - номер 169, страница 57.

Условие.

169. Пусть $a > b$ и числа $a, b$ отрицательные. Доказать, что:

1) $a^n > b^n$, если $n$ — нечётное натуральное число;

2) $a^n < b^n$, если $n$ — чётное натуральное число.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

По условию даны два отрицательных числа $a$ и $b$ такие, что $a > b$.

Так как $a$ и $b$ отрицательные, мы можем представить их в виде $a = -x$ и $b = -y$, где $x$ и $y$ — положительные числа ($x > 0$, $y > 0$).

Из неравенства $a > b$ следует, что $-x > -y$. Умножим обе части этого неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный, поэтому мы получаем $x < y$.

Итак, у нас есть два положительных числа $x$ и $y$, для которых выполняется неравенство $0 < x < y$.

1) Докажем, что $a^n > b^n$, если $n$ — нечётное натуральное число.

Рассмотрим степени $a^n$ и $b^n$.

$a^n = (-x)^n$

$b^n = (-y)^n$

Поскольку $n$ — нечётное число, то $(-1)^n = -1$. Следовательно:

$a^n = (-1)^n \cdot x^n = -x^n$

$b^n = (-1)^n \cdot y^n = -y^n$

Нам нужно доказать, что $a^n > b^n$, что эквивалентно доказательству неравенства $-x^n > -y^n$.

Умножим обе части неравенства $-x^n > -y^n$ на $-1$, изменив знак на противоположный:

$x^n < y^n$

Так как $x$ и $y$ — положительные числа и $x < y$, а функция $f(z) = z^n$ для положительных $z$ и натурального $n$ является строго возрастающей, то из $x < y$ следует $x^n < y^n$.

Таким образом, исходное неравенство $a^n > b^n$ верно.

Ответ: Утверждение доказано.

2) Докажем, что $a^n < b^n$, если $n$ — чётное натуральное число.

Снова рассмотрим степени $a^n$ и $b^n$.

$a^n = (-x)^n$

$b^n = (-y)^n$

Поскольку $n$ — чётное число, то $(-1)^n = 1$. Следовательно:

$a^n = (-1)^n \cdot x^n = x^n$

$b^n = (-1)^n \cdot y^n = y^n$

Нам нужно доказать, что $a^n < b^n$, что эквивалентно доказательству неравенства $x^n < y^n$.

Как было установлено в предыдущем пункте, для положительных чисел $x$ и $y$ из неравенства $x < y$ следует $x^n < y^n$ для любого натурального $n$.

Это можно показать, рассмотрев разность $y^n - x^n = (y - x)(y^{n-1} + y^{n-2}x + \dots + x^{n-1})$. Первый множитель $(y-x)$ положителен, так как $y > x$. Второй множитель также положителен как сумма положительных слагаемых. Произведение двух положительных чисел положительно, значит $y^n - x^n > 0$, откуда $y^n > x^n$ или $x^n < y^n$.

Таким образом, исходное неравенство $a^n < b^n$ верно.

Ответ: Утверждение доказано.