Номер 3, страница 61 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 10. Строгие и нестрогие неравенства. Глава 2. Неравенства - номер 3, страница 61.

Условие.

3. Перечислить свойства нестрогих неравенств.

Решение 3.

Решение 4.

Нестрогие неравенства (вида $a \ge b$ или $a \le b$) обладают следующими основными свойствами:

1. Рефлексивность
Любое число считается не большим и не меньшим самого себя. Это следует из определения нестрогого неравенства, которое включает возможность равенства.
Для любого числа $a$ справедливо: $a \ge a$ и $a \le a$.
Ответ:

2. Антисимметричность
Если число $a$ не больше числа $b$, и одновременно число $b$ не больше числа $a$, то это возможно только в том случае, если числа $a$ и $b$ равны.
Формально: если $a \le b$ и $b \le a$, то $a = b$.
Ответ:

3. Транзитивность
Если число $a$ не больше числа $b$, а число $b$ не больше числа $c$, то отсюда следует, что число $a$ не больше числа $c$.
Формально: если $a \le b$ и $b \le c$, то $a \le c$.
Ответ:

4. Сложение с любым числом
Если к обеим частям верного нестрогого неравенства прибавить (или вычесть) одно и то же число, то знак неравенства не изменится, и оно останется верным.
Если $a \ge b$, то для любого числа $c$ будет верно, что $a + c \ge b + c$.
Ответ:

5. Умножение и деление на положительное число
Если обе части верного нестрогого неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится.
Если $a \ge b$ и $c > 0$, то $a \cdot c \ge b \cdot c$ и $\frac{a}{c} \ge \frac{b}{c}$.
Ответ:

6. Умножение и деление на отрицательное число
Если обе части верного нестрогого неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства необходимо изменить на противоположный (с '$\ge$' на '$\le$' и наоборот).
Если $a \ge b$ и $c < 0$, то $a \cdot c \le b \cdot c$ и $\frac{a}{c} \le \frac{b}{c}$.
Ответ:

7. Почленное сложение
Верные нестрогие неравенства одного знака можно почленно складывать. В результате получится верное нестрогое неравенство того же знака.
Если $a \ge b$ и $c \ge d$, то $a + c \ge b + d$.
Ответ:

8. Почленное умножение
Верные нестрогие неравенства одного знака можно почленно перемножать, если все их части неотрицательны. В результате получится верное нестрогое неравенство того же знака.
Если $a \ge b \ge 0$ и $c \ge d \ge 0$, то $a \cdot c \ge b \cdot d$.
Ответ:

9. Возведение в натуральную степень
Если обе части верного нестрогого неравенства неотрицательны, то их можно возвести в любую натуральную степень, при этом знак неравенства сохранится.
Если $a \ge b \ge 0$ и $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$), то $a^n \ge b^n$.
Ответ: