Страница 61 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Какое неравенство называют строгим; нестрогим?

Строгим неравенством называют такое неравенство, которое образовано с помощью знаков "больше" ($>$) или "меньше" ($<$). В таких неравенствах равенство между левой и правой частями исключено. Это означает, что одно значение должно быть строго больше или строго меньше другого.

Например, в неравенстве $x > 7$ переменная $x$ может принимать любые значения, которые больше числа 7 (например, $7.01$, $8$, $150$), но не может быть равна 7. Аналогично, в неравенстве $y < -2$ переменная $y$ может быть любым числом, которое меньше $-2$ (например, $-3$, $-10.5$), но не самим числом $-2$. При изображении решений строгих неравенств на числовой прямой граничные точки исключаются и обозначаются "выколотыми" (пустыми) кружками.

Ответ: Неравенство называют строгим, если оно содержит знаки $>$ (больше) или $<$ (меньше).

Нестрогим неравенством называют такое неравенство, которое образовано с помощью знаков "больше или равно" ($\ge$) или "меньше или равно" ($\le$). В отличие от строгих, нестрогие неравенства допускают возможность равенства между левой и правой частями.

Например, неравенство $x \ge 7$ означает, что переменная $x$ может принимать значения, которые больше 7, а также может быть равна 7. Таким образом, $x$ может быть $7$, $7.01$, $8$ и т.д. Аналогично, неравенство $y \le -2$ означает, что $y$ может быть равен $-2$ или любому числу, которое меньше $-2$. При изображении решений нестрогих неравенств на числовой прямой граничные точки включаются в решение и обозначаются закрашенными кружками.

Ответ: Неравенство называют нестрогим, если оно содержит знаки $\ge$ (больше или равно) или $\le$ (меньше или равно).

2. Что означает неравенство $a \le b$; $a \ge b$?

$a \le b$
Это нестрогое неравенство, которое читается как «$a$ меньше или равно $b$». Оно означает, что выполняется хотя бы одно из двух условий: либо число $a$ строго меньше числа $b$ (запись: $a < b$), либо число $a$ равно числу $b$ (запись: $a = b$).
Другими словами, запись $a \le b$ является сокращением для логического выражения «$a < b$ или $a = b$».
Например, неравенство $5 \le 8$ является верным, так как выполняется условие $5 < 8$. Неравенство $8 \le 8$ также является верным, так как выполняется условие $8 = 8$. Неравенство $9 \le 8$ является неверным, так как ни $9 < 8$, ни $9 = 8$ не выполняются.
Геометрически на числовой прямой это означает, что точка, соответствующая числу $a$, расположена левее точки, соответствующей числу $b$, или совпадает с ней.
С точки зрения разности, это неравенство эквивалентно тому, что разность $b - a$ является неотрицательной, то есть $b - a \ge 0$.
Ответ: Неравенство $a \le b$ означает, что число $a$ не превышает число $b$, то есть $a$ либо меньше $b$, либо равно $b$.

$a \ge b$
Это нестрогое неравенство, которое читается как «$a$ больше или равно $b$». Оно означает, что выполняется хотя бы одно из двух условий: либо число $a$ строго больше числа $b$ (запись: $a > b$), либо число $a$ равно числу $b$ (запись: $a = b$).
Другими словами, запись $a \ge b$ является сокращением для логического выражения «$a > b$ или $a = b$».
Например, неравенство $12 \ge 7$ является верным, так как выполняется условие $12 > 7$. Неравенство $7 \ge 7$ также является верным, так как выполняется условие $7 = 7$. Неравенство $6 \ge 7$ является неверным, так как ни $6 > 7$, ни $6 = 7$ не выполняются.
Геометрически на числовой прямой это означает, что точка, соответствующая числу $a$, расположена правее точки, соответствующей числу $b$, или совпадает с ней.
С точки зрения разности, это неравенство эквивалентно тому, что разность $a - b$ является неотрицательной, то есть $a - b \ge 0$.
Ответ: Неравенство $a \ge b$ означает, что число $a$ не меньше числа $b$, то есть $a$ либо больше $b$, либо равно $b$.

3. Перечислить свойства нестрогих неравенств.

Нестрогие неравенства (вида $a \ge b$ или $a \le b$) обладают следующими основными свойствами:

1. Рефлексивность
Любое число считается не большим и не меньшим самого себя. Это следует из определения нестрогого неравенства, которое включает возможность равенства.
Для любого числа $a$ справедливо: $a \ge a$ и $a \le a$.
Ответ:

2. Антисимметричность
Если число $a$ не больше числа $b$, и одновременно число $b$ не больше числа $a$, то это возможно только в том случае, если числа $a$ и $b$ равны.
Формально: если $a \le b$ и $b \le a$, то $a = b$.
Ответ:

3. Транзитивность
Если число $a$ не больше числа $b$, а число $b$ не больше числа $c$, то отсюда следует, что число $a$ не больше числа $c$.
Формально: если $a \le b$ и $b \le c$, то $a \le c$.
Ответ:

4. Сложение с любым числом
Если к обеим частям верного нестрогого неравенства прибавить (или вычесть) одно и то же число, то знак неравенства не изменится, и оно останется верным.
Если $a \ge b$, то для любого числа $c$ будет верно, что $a + c \ge b + c$.
Ответ:

5. Умножение и деление на положительное число
Если обе части верного нестрогого неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится.
Если $a \ge b$ и $c > 0$, то $a \cdot c \ge b \cdot c$ и $\frac{a}{c} \ge \frac{b}{c}$.
Ответ:

6. Умножение и деление на отрицательное число
Если обе части верного нестрогого неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства необходимо изменить на противоположный (с '$\ge$' на '$\le$' и наоборот).
Если $a \ge b$ и $c < 0$, то $a \cdot c \le b \cdot c$ и $\frac{a}{c} \le \frac{b}{c}$.
Ответ:

7. Почленное сложение
Верные нестрогие неравенства одного знака можно почленно складывать. В результате получится верное нестрогое неравенство того же знака.
Если $a \ge b$ и $c \ge d$, то $a + c \ge b + d$.
Ответ:

8. Почленное умножение
Верные нестрогие неравенства одного знака можно почленно перемножать, если все их части неотрицательны. В результате получится верное нестрогое неравенство того же знака.
Если $a \ge b \ge 0$ и $c \ge d \ge 0$, то $a \cdot c \ge b \cdot d$.
Ответ:

9. Возведение в натуральную степень
Если обе части верного нестрогого неравенства неотрицательны, то их можно возвести в любую натуральную степень, при этом знак неравенства сохранится.
Если $a \ge b \ge 0$ и $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$), то $a^n \ge b^n$.
Ответ:

4. Назвать противоположные знаки строгих и нестрогих неравенств.

В математике каждому знаку неравенства соответствует противоположный знак. Противоположный знак означает отрицание исходного неравенства. То есть, если исходное неравенство $A$ истинно, то противоположное ему неравенство $B$ ложно, и наоборот.

Противоположные знаки строгих неравенств

Строгие неравенства используют знаки "больше" ($>$) и "меньше" ($<$). Они исключают возможность равенства.

Для знака "больше" ($>$): Утверждение $a > b$ означает, что "a строго больше b". Противоположное этому утверждение — "a не больше b". Если $a$ не больше $b$, значит, $a$ либо меньше $b$, либо равно $b$. Это записывается с помощью нестрогого неравенства: $a \le b$.

Для знака "меньше" ($<$): Утверждение $a < b$ означает, что "a строго меньше b". Противоположное этому утверждение — "a не меньше b". Если $a$ не меньше $b$, значит, $a$ либо больше $b$, либо равно $b$. Это записывается как $a \ge b$.

Ответ: знаком, противоположным знаку $>$, является знак $\le$; знаком, противоположным знаку $<$, является знак $\ge$.

Противоположные знаки нестрогих неравенств

Нестрогие неравенства используют знаки "больше или равно" ($\ge$) и "меньше или равно" ($\le$). Они включают возможность равенства.

Для знака "больше или равно" ($\ge$): Утверждение $a \ge b$ означает, что "a больше b или a равно b". Противоположное утверждение — "неверно, что a больше или равно b". Это означает, что $a$ строго меньше $b$, что записывается с помощью строгого неравенства: $a < b$.

Для знака "меньше или равно" ($\le$): Утверждение $a \le b$ означает, что "a меньше b или a равно b". Противоположное утверждение — "неверно, что a меньше или равно b". Это означает, что $a$ строго больше $b$, что записывается как $a > b$.

Ответ: знаком, противоположным знаку $\ge$, является знак $<$; знаком, противоположным знаку $\le$, является знак $>$.

5. Дано неравенство $a \ge 5$. Объяснить, почему $a + 10 \ge 15$ является верным неравенством. Является ли верным неравенство $-5a \le -25$?

Почему $a+10 \geq 15$ является верным неравенством

В основе решения лежит свойство числовых неравенств: если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не изменится.

Нам дано исходное верное неравенство: $a \geq 5$.

Чтобы получить в левой части выражение $a+10$, прибавим к обеим частям неравенства число 10:

$a + 10 \geq 5 + 10$

Теперь вычислим сумму в правой части неравенства:

$a + 10 \geq 15$

Мы получили неравенство $a+10 \geq 15$ путем равносильного преобразования верного неравенства $a \geq 5$. Следовательно, полученное неравенство также является верным.

Ответ: Неравенство $a+10 \geq 15$ является верным, так как оно получено из верного неравенства $a \geq 5$ путем прибавления к обеим его частям одного и того же числа (10), что сохраняет знак неравенства.

Является ли верным неравенство $-5a \leq -25$

Для проверки этого неравенства воспользуемся другим свойством: если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства необходимо изменить на противоположный.

Снова начнем с исходного верного неравенства: $a \geq 5$.

Чтобы получить в левой части выражение $-5a$, умножим обе части неравенства на отрицательное число -5. При этом знак неравенства $\geq$ (больше или равно) нужно изменить на противоположный, то есть на $\leq$ (меньше или равно):

$a \cdot (-5) \leq 5 \cdot (-5)$

Теперь вычислим произведения в обеих частях неравенства:

$-5a \leq -25$

Мы получили неравенство $-5a \leq -25$ путем равносильного преобразования верного неравенства $a \geq 5$. Следовательно, полученное неравенство также является верным.

Ответ: Да, неравенство $-5a \leq -25$ является верным.

1. К обеим частям неравенства $2a-3<5$ прибавить число $-5$; $a$; $-a$.

Дано неравенство $2a - 3 < 5$.

Согласно свойству числовых неравенств, если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не изменится. Мы применим это свойство для каждого из заданных чисел.

-5

Прибавим к обеим частям исходного неравенства число -5:

$(2a - 3) + (-5) < 5 + (-5)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в левой и правой частях:

$2a - 3 - 5 < 5 - 5$

$2a - 8 < 0$

Ответ: $2a - 8 < 0$.

a

Прибавим к обеим частям исходного неравенства число $a$:

$(2a - 3) + a < 5 + a$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$3a - 3 < 5 + a$

Ответ: $3a - 3 < 5 + a$.

-a

Прибавим к обеим частям исходного неравенства число $-a$:

$(2a - 3) + (-a) < 5 + (-a)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в левой и правой частях:

$2a - 3 - a < 5 - a$

$a - 3 < 5 - a$

Ответ: $a - 3 < 5 - a$.

2. Обе части неравенства $4b<5$ умножить на число $\frac{1}{2}$; 3; -2; $-\frac{1}{4}$.

Для решения этой задачи необходимо использовать свойство числовых неравенств: при умножении обеих частей верного неравенства на одно и то же число, мы получаем верное неравенство. Важно помнить, что:

• Если это число положительное, то знак неравенства сохраняется.
• Если это число отрицательное, то знак неравенства меняется на противоположный.

Исходное неравенство: $4b < 5$.

$\frac{1}{2}$

Число $\frac{1}{2}$ является положительным, поэтому знак неравенства "$<$" сохранится. Умножим обе части неравенства на $\frac{1}{2}$:

$4b \cdot \frac{1}{2} < 5 \cdot \frac{1}{2}$

$\frac{4}{2}b < \frac{5}{2}$

$2b < \frac{5}{2}$

Ответ: $2b < \frac{5}{2}$.

$3$

Число $3$ является положительным, поэтому знак неравенства "$<$" сохранится. Умножим обе части неравенства на $3$:

$4b \cdot 3 < 5 \cdot 3$

$12b < 15$

Ответ: $12b < 15$.

$-2$

Число $-2$ является отрицательным, поэтому знак неравенства "$<$" необходимо изменить на противоположный, то есть на "$>$". Умножим обе части неравенства на $-2$:

$4b \cdot (-2) > 5 \cdot (-2)$

$-8b > -10$

Ответ: $-8b > -10$.

$-\frac{1}{4}$

Число $-\frac{1}{4}$ является отрицательным, поэтому знак неравенства "$<$" необходимо изменить на противоположный, то есть на "$>$". Умножим обе части неравенства на $-\frac{1}{4}$:

$4b \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) > 5 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)$

$-\frac{4}{4}b > -\frac{5}{4}$

$-b > -\frac{5}{4}$

Ответ: $-b > -\frac{5}{4}$.

3. Выполнить сложение неравенств:

1) $a>3$ и $b>-2$;

2) $x<-4$ и $y<4$.

1) $a > 3$ и $b > -2$;

Для того чтобы сложить два неравенства, они должны быть одного знака. В данном случае оба неравенства ($a > 3$ и $b > -2$) имеют знак "больше" ($>$). Сложение неравенств одного знака выполняется почленно: левые части складываются с левыми, а правые — с правыми, при этом знак неравенства сохраняется.

Сложим левые части неравенств: $a + b$.

Сложим правые части неравенств: $3 + (-2)$.

Вычислим сумму в правой части: $3 - 2 = 1$.

В результате получаем новое неравенство:

$a + b > 1$

Ответ: $a+b > 1$.

2) $x < -4$ и $y < 4$.

Данные неравенства ($x < -4$ и $y < 4$) также имеют одинаковый знак "меньше" ($<$), поэтому их можно сложить почленно, как и в предыдущем примере.

Складываем левые части: $x + y$.

Складываем правые части: $-4 + 4$.

Вычисляем сумму в правой части: $-4 + 4 = 0$.

Получаем итоговое неравенство:

$x + y < 0$

Ответ: $x+y < 0$.

4. Выполнить умножение неравенств:

1) $x > 5$ и $y > 3$;

2) $1 < 2$ и $0,5 < 2,5$.

1)

Даны два неравенства: $x > 5$ и $y > 3$.

Для того чтобы перемножить два неравенства одного знака, необходимо убедиться, что все их части являются положительными числами. В данном случае, из неравенства $x > 5$ следует, что $x$ является положительным числом. Аналогично, из неравенства $y > 3$ следует, что $y$ также положительное число. Числа $5$ и $3$ также положительны.

Согласно свойству умножения неравенств, если $a > b$ и $c > d$, где $a, b, c, d$ — положительные числа, то их можно почленно перемножить, сохранив знак неравенства: $ac > bd$.

Выполним почленное умножение данных неравенств:

Умножим левые части: $x \cdot y = xy$.

Умножим правые части: $5 \cdot 3 = 15$.

Соединяем результаты, сохраняя исходный знак неравенства ">".

В результате получаем неравенство: $xy > 15$.

Ответ: $xy > 15$.

2)

Даны два числовых неравенства: $1 < 2$ и $0,5 < 2,5$.

Оба неравенства имеют одинаковый знак "<", и все их части ($1, 2, 0,5, 2,5$) являются положительными числами. Это позволяет нам применить правило почленного умножения неравенств.

Выполним почленное умножение:

Умножим левые части неравенств: $1 \cdot 0,5 = 0,5$.

Умножим правые части неравенств: $2 \cdot 2,5 = 5$.

Сохраняем исходный знак неравенства "<" и получаем верное числовое неравенство, которое является результатом умножения.

В результате получаем: $0,5 < 5$.

Ответ: $0,5 < 5$.

5. Микроавтобус рассчитан на 13 посадочных мест. Могут ли в этом автобусе ехать сидя 5 пассажиров; 10 пассажиров; 13 пассажиров; 15 пассажиров?

В условии задачи сказано, что микроавтобус рассчитан на 13 посадочных мест. Это означает, что количество пассажиров, которые могут ехать сидя, не должно превышать 13. Чтобы ответить на вопрос для каждого случая, необходимо сравнить количество пассажиров с количеством мест в микроавтобусе.

Пусть $M$ — количество посадочных мест, $M = 13$.

Пусть $P$ — количество пассажиров.

Пассажиры могут ехать сидя, если выполняется неравенство: $P \le M$.

5 пассажиров

Сравниваем количество пассажиров с количеством мест: $5 \le 13$. Неравенство верное, так как 5 меньше 13. Это означает, что 5 пассажиров могут комфортно разместиться на сидячих местах, и еще останутся свободные места.

Ответ: Да, могут.

10 пассажиров

Сравниваем количество пассажиров с количеством мест: $10 \le 13$. Неравенство верное, так как 10 меньше 13. 10 пассажиров могут ехать сидя, и несколько мест останутся свободными.

Ответ: Да, могут.

13 пассажиров

Сравниваем количество пассажиров с количеством мест: $13 \le 13$. Неравенство верное (в данном случае — равенство). 13 пассажиров могут ехать сидя, заняв все доступные посадочные места.

Ответ: Да, могут.

15 пассажиров

Сравниваем количество пассажиров с количеством мест: $15 > 13$. Неравенство $15 \le 13$ неверно. Количество пассажиров превышает количество посадочных мест. Следовательно, все 15 пассажиров не смогут ехать сидя одновременно, так как для двоих из них не хватит мест.

Ответ: Нет, не могут.

171. Найти наибольшее целое число n, удовлетворяющее неравенству:

1) $n \leq -2;$

2) $n \leq 3;$

3) $n < 4;$

4) $n < -5;$

5) $n \leq 0,2;$

6) $n \leq -0,3.$

1) Ищется наибольшее целое число $n$, для которого выполняется неравенство $n \le -2$. Это означает, что $n$ может быть равно $-2$ или любому целому числу, которое меньше $-2$. Множество целых решений неравенства: $\{..., -4, -3, -2\}$. Наибольшим целым числом в этом множестве является $-2$.
Ответ: $-2$.

2) Ищется наибольшее целое число $n$, для которого выполняется неравенство $n \le 3$. Это означает, что $n$ может быть равно $3$ или любому целому числу, которое меньше $3$. Множество целых решений неравенства: $\{..., 1, 2, 3\}$. Наибольшим целым числом в этом множестве является $3$.
Ответ: $3$.

3) Ищется наибольшее целое число $n$, для которого выполняется неравенство $n < 4$. Это строгое неравенство, поэтому $n$ должно быть строго меньше $4$. Множество целых решений неравенства: $\{..., 1, 2, 3\}$. Наибольшим целым числом в этом множестве является $3$.
Ответ: $3$.

4) Ищется наибольшее целое число $n$, для которого выполняется неравенство $n < -5$. Это строгое неравенство, поэтому $n$ должно быть строго меньше $-5$. Множество целых решений неравенства: $\{..., -7, -6\}$. Наибольшим целым числом в этом множестве является $-6$.
Ответ: $-6$.

5) Ищется наибольшее целое число $n$, для которого выполняется неравенство $n \le 0,2$. Нам нужно найти целые числа, которые меньше или равны $0,2$. Это числа $\{..., -2, -1, 0\}$. Наибольшим целым числом среди них является $0$.
Ответ: $0$.

6) Ищется наибольшее целое число $n$, для которого выполняется неравенство $n \le -0,3$. Нам нужно найти целые числа, которые меньше или равны $-0,3$. Это числа $\{..., -3, -2, -1\}$. Наибольшим целым числом среди них является $-1$.
Ответ: $-1$.

172. Найти наименьшее целое число n, удовлетворяющее неравенству:

1) $n \geq -3$;

2) $n \geq 6$;

3) $n > 6$;

4) $n > -4$;

5) $n > -4,21$;

6) $n \geq 3,24$.

1) Требуется найти наименьшее целое число $n$, удовлетворяющее неравенству $n \ge -3$. Это неравенство означает, что число $n$ больше или равно $-3$. Целые числа, которые удовлетворяют этому условию, это $-3, -2, -1, 0, 1, \dots$ и так далее. Самым маленьким из этих чисел является $-3$.
Ответ: -3

2) Дано неравенство $n \ge 6$. Это означает, что наименьшее значение $n$ должно быть равно $6$ или быть больше него. Множество целых чисел, удовлетворяющих этому условию: $\{6, 7, 8, 9, \dots\}$. Наименьшее целое число в этом множестве — это $6$.
Ответ: 6

3) Дано неравенство $n > 6$. Это строгое неравенство, которое означает, что $n$ должно быть строго больше $6$. Так как $n$ — целое число, то первым целым числом, которое больше $6$, является $7$. Множество целых решений: $\{7, 8, 9, \dots\}$. Наименьшее из них — $7$.
Ответ: 7

4) Дано неравенство $n > -4$. Это строгое неравенство, поэтому $n$ не может быть равно $-4$. Мы ищем наименьшее целое число, которое больше $-4$. На числовой прямой это будет следующее целое число справа от $-4$, то есть $-3$. Множество целых решений: $\{-3, -2, -1, 0, \dots\}$. Наименьшее из них — $-3$.
Ответ: -3

5) Дано неравенство $n > -4,21$. Мы ищем наименьшее целое число $n$, которое больше, чем $-4,21$. На числовой прямой справа от числа $-4,21$ находятся целые числа $-4, -3, -2, \dots$. Самое маленькое (ближайшее к $-4,21$) из этих целых чисел — это $-4$.
Ответ: -4

6) Дано неравенство $n \ge 3,24$. Мы ищем наименьшее целое число $n$, которое больше или равно $3,24$. На числовой прямой справа от числа $3,24$ находятся целые числа $4, 5, 6, \dots$. Самое маленькое из этих целых чисел — это $4$.
Ответ: 4