Номер 167, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 9. Сложение и умножение неравенств. Глава 2. Неравенства - номер 167, страница 57.

Условие.

167. Пусть $a > 1$. Доказать, что:

1) $a^3 > a$;

2) $a^5 > a^2$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Докажем неравенство $a^3 > a$.

Нам дано, что $a > 1$. Поскольку $a$ — это число большее единицы, оно является положительным. Мы можем умножать неравенство на положительное число, не меняя его знака.

Умножим обе части исходного неравенства $a > 1$ на положительное число $a$:

$a \cdot a > 1 \cdot a$

В результате получаем:

$a^2 > a$

Теперь у нас есть два верных неравенства: $a^2 > a$ и исходное $a > 1$. Умножим неравенство $a^2 > a$ еще раз на положительное число $a$:

$a^2 \cdot a > a \cdot a$

$a^3 > a^2$

Итак, мы установили, что $a^3 > a^2$ и $a^2 > a$.

Используя свойство транзитивности неравенств (если $x > y$ и $y > z$, то $x > z$), мы можем заключить:

Из $a^3 > a^2$ и $a^2 > a$ следует, что $a^3 > a$.

Таким образом, неравенство доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Докажем неравенство $a^5 > a^2$.

Для доказательства преобразуем неравенство. Перенесем $a^2$ в левую часть:

$a^5 - a^2 > 0$

Вынесем общий множитель $a^2$ за скобки:

$a^2(a^3 - 1) > 0$

Теперь нам нужно доказать, что произведение в левой части положительно. Рассмотрим каждый множитель отдельно, используя условие $a > 1$.

Первый множитель: $a^2$. Так как $a > 1$, то при возведении в квадрат обеих частей неравенства (которые положительны) знак неравенства сохраняется: $a^2 > 1^2$, то есть $a^2 > 1$. Следовательно, множитель $a^2$ является положительным числом.

Второй множитель: $(a^3 - 1)$. Так как $a > 1$, то при возведении в куб обеих частей неравенства знак сохранится (поскольку функция $y=x^3$ является строго возрастающей): $a^3 > 1^3$, то есть $a^3 > 1$. Из этого следует, что разность $a^3 - 1$ положительна: $a^3 - 1 > 0$.

Мы получили, что левая часть неравенства $a^2(a^3 - 1)$ является произведением двух положительных чисел ($a^2 > 0$ и $a^3 - 1 > 0$). Произведение положительных чисел всегда положительно.

Следовательно, неравенство $a^2(a^3 - 1) > 0$ верно, а это равносильно исходному неравенству $a^5 > a^2$.

Ответ: Что и требовалось доказать.