Номер 168, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 9. Сложение и умножение неравенств. Глава 2. Неравенства - номер 168, страница 57.

Условие.

168. Пусть $a<1$ и $a$ — положительное число. Доказать, что:

1) $a^3<a$;

2) $a^5<a^2$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

По условию задачи дано, что $a$ — положительное число и $a < 1$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $0 < a < 1$.

1) Докажем, что $a^3 < a$.

Возьмем исходное неравенство $a < 1$. Так как по условию $a > 0$, мы можем умножить обе части неравенства на $a$, при этом знак неравенства не изменится:
$a \cdot a < 1 \cdot a$
$a^2 < a$

Мы получили новое неравенство $a^2 < a$. Снова умножим обе его части на положительное число $a$:
$a^2 \cdot a < a \cdot a$
$a^3 < a^2$

Таким образом, мы получили два верных неравенства: $a^3 < a^2$ и $a^2 < a$. Используя свойство транзитивности неравенств (если $x < y$ и $y < z$, то $x < z$), мы можем заключить, что $a^3 < a$, что и требовалось доказать.

Ответ: $a^3 < a$.

2) Докажем, что $a^5 < a^2$.

Из условия $0 < a < 1$ следует, что $a < 1$. Возведем обе части этого неравенства в куб. Так как $a$ — число положительное, знак неравенства сохраняется:
$a^3 < 1^3$
$a^3 < 1$

Теперь умножим обе части полученного неравенства $a^3 < 1$ на $a^2$. Так как $a > 0$, то $a^2$ также является положительным числом, поэтому знак неравенства при умножении не изменится:
$a^3 \cdot a^2 < 1 \cdot a^2$
$a^5 < a^2$

Таким образом, неравенство $a^5 < a^2$ доказано, что и требовалось доказать.

Ответ: $a^5 < a^2$.