Номер 152, страница 53 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 8. Основные свойства числовых неравенств. Глава 2. Неравенства - номер 152, страница 53.

Условие.

152. Доказать, что:

1) $a + \frac{1}{a} < -2$, если $a < 0$ и $a \neq -1$;

2) $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} > 2$, если $ab > 0$ и $a \neq b$;

3) $4y + \frac{1}{y} > 4$, если $y > 0$ и $y \neq \frac{1}{2}$;

4) $9x + \frac{1}{x} < -6$, если $x < 0$ и $x \neq -\frac{1}{3}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Для доказательства неравенства $a + \frac{1}{a} < -2$ при условиях $a < 0$ и $a \neq -1$ выполним следующие преобразования. Перенесем все слагаемые в левую часть:

$a + \frac{1}{a} + 2 < 0$

Приведем выражение в левой части к общему знаменателю $a$:

$\frac{a^2 + 1 + 2a}{a} < 0$

Свернем числитель по формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$:

$\frac{(a+1)^2}{a} < 0$

Теперь проанализируем знаки числителя и знаменателя. Числитель $(a+1)^2$ является квадратом выражения. Квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $(a+1)^2 \ge 0$. По условию $a \neq -1$, поэтому $a+1 \neq 0$, а значит числитель строго положителен: $(a+1)^2 > 0$. Знаменатель, по условию, отрицателен: $a < 0$.

Отношение строго положительного числа (числителя) к отрицательному числу (знаменателю) всегда является отрицательным числом. Таким образом, неравенство $\frac{(a+1)^2}{a} < 0$ верно при заданных условиях. Следовательно, исходное неравенство также верно.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Для доказательства неравенства $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} > 2$ при условиях $ab > 0$ и $a \neq b$ преобразуем его. Перенесем 2 в левую часть:

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2 > 0$

Приведем к общему знаменателю $ab$:

$\frac{a^2 + b^2 - 2ab}{ab} > 0$

Числитель является квадратом разности $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$:

$\frac{(a-b)^2}{ab} > 0$

Проанализируем знаки числителя и знаменателя. Числитель $(a-b)^2$ является квадратом. По условию $a \neq b$, поэтому $a-b \neq 0$. Значит, числитель строго положителен: $(a-b)^2 > 0$. Знаменатель $ab$, по условию, положителен: $ab > 0$.

Отношение строго положительного числа (числителя) к положительному числу (знаменателю) всегда положительно. Неравенство $\frac{(a-b)^2}{ab} > 0$ верно, а значит и исходное неравенство доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.

3) Для доказательства неравенства $4y + \frac{1}{y} > 4$ при условиях $y > 0$ и $y \neq \frac{1}{2}$ перенесем все члены в левую часть:

$4y - 4 + \frac{1}{y} > 0$

Приведем к общему знаменателю $y$:

$\frac{4y^2 - 4y + 1}{y} > 0$

Числитель является полным квадратом разности:

$\frac{(2y-1)^2}{y} > 0$

Проанализируем знаки числителя и знаменателя. Числитель $(2y-1)^2$ — это квадрат выражения. По условию $y \neq \frac{1}{2}$, значит $2y-1 \neq 0$. Следовательно, числитель строго положителен: $(2y-1)^2 > 0$. Знаменатель, по условию, положителен: $y > 0$.

Дробь, у которой и числитель, и знаменатель положительны, всегда положительна. Неравенство $\frac{(2y-1)^2}{y} > 0$ верно, что и доказывает исходное утверждение.

Ответ: Что и требовалось доказать.

4) Для доказательства неравенства $9x + \frac{1}{x} < -6$ при условиях $x < 0$ и $x \neq -\frac{1}{3}$ выполним преобразования. Перенесем -6 в левую часть:

$9x + \frac{1}{x} + 6 < 0$

Приведем левую часть к общему знаменателю $x$:

$\frac{9x^2 + 1 + 6x}{x} < 0$

Числитель дроби является полным квадратом суммы:

$\frac{(3x+1)^2}{x} < 0$

Проанализируем знаки числителя и знаменателя. Числитель $(3x+1)^2$ — это квадрат. По условию $x \neq -\frac{1}{3}$, поэтому $3x+1 \neq 0$. Значит, числитель строго положителен: $(3x+1)^2 > 0$. Знаменатель, по условию, отрицателен: $x < 0$.

Отношение положительного числителя к отрицательному знаменателю является отрицательным числом. Таким образом, неравенство $\frac{(3x+1)^2}{x} < 0$ верно, что и требовалось доказать.

Ответ: Что и требовалось доказать.