Страница 53 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

152. Доказать, что:

1) $a + \frac{1}{a} < -2$, если $a < 0$ и $a \neq -1$;

2) $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} > 2$, если $ab > 0$ и $a \neq b$;

3) $4y + \frac{1}{y} > 4$, если $y > 0$ и $y \neq \frac{1}{2}$;

4) $9x + \frac{1}{x} < -6$, если $x < 0$ и $x \neq -\frac{1}{3}$.

1) Для доказательства неравенства $a + \frac{1}{a} < -2$ при условиях $a < 0$ и $a \neq -1$ выполним следующие преобразования. Перенесем все слагаемые в левую часть:

$a + \frac{1}{a} + 2 < 0$

Приведем выражение в левой части к общему знаменателю $a$:

$\frac{a^2 + 1 + 2a}{a} < 0$

Свернем числитель по формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$:

$\frac{(a+1)^2}{a} < 0$

Теперь проанализируем знаки числителя и знаменателя. Числитель $(a+1)^2$ является квадратом выражения. Квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $(a+1)^2 \ge 0$. По условию $a \neq -1$, поэтому $a+1 \neq 0$, а значит числитель строго положителен: $(a+1)^2 > 0$. Знаменатель, по условию, отрицателен: $a < 0$.

Отношение строго положительного числа (числителя) к отрицательному числу (знаменателю) всегда является отрицательным числом. Таким образом, неравенство $\frac{(a+1)^2}{a} < 0$ верно при заданных условиях. Следовательно, исходное неравенство также верно.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Для доказательства неравенства $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} > 2$ при условиях $ab > 0$ и $a \neq b$ преобразуем его. Перенесем 2 в левую часть:

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2 > 0$

Приведем к общему знаменателю $ab$:

$\frac{a^2 + b^2 - 2ab}{ab} > 0$

Числитель является квадратом разности $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$:

$\frac{(a-b)^2}{ab} > 0$

Проанализируем знаки числителя и знаменателя. Числитель $(a-b)^2$ является квадратом. По условию $a \neq b$, поэтому $a-b \neq 0$. Значит, числитель строго положителен: $(a-b)^2 > 0$. Знаменатель $ab$, по условию, положителен: $ab > 0$.

Отношение строго положительного числа (числителя) к положительному числу (знаменателю) всегда положительно. Неравенство $\frac{(a-b)^2}{ab} > 0$ верно, а значит и исходное неравенство доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.

3) Для доказательства неравенства $4y + \frac{1}{y} > 4$ при условиях $y > 0$ и $y \neq \frac{1}{2}$ перенесем все члены в левую часть:

$4y - 4 + \frac{1}{y} > 0$

Приведем к общему знаменателю $y$:

$\frac{4y^2 - 4y + 1}{y} > 0$

Числитель является полным квадратом разности:

$\frac{(2y-1)^2}{y} > 0$

Проанализируем знаки числителя и знаменателя. Числитель $(2y-1)^2$ — это квадрат выражения. По условию $y \neq \frac{1}{2}$, значит $2y-1 \neq 0$. Следовательно, числитель строго положителен: $(2y-1)^2 > 0$. Знаменатель, по условию, положителен: $y > 0$.

Дробь, у которой и числитель, и знаменатель положительны, всегда положительна. Неравенство $\frac{(2y-1)^2}{y} > 0$ верно, что и доказывает исходное утверждение.

Ответ: Что и требовалось доказать.

4) Для доказательства неравенства $9x + \frac{1}{x} < -6$ при условиях $x < 0$ и $x \neq -\frac{1}{3}$ выполним преобразования. Перенесем -6 в левую часть:

$9x + \frac{1}{x} + 6 < 0$

Приведем левую часть к общему знаменателю $x$:

$\frac{9x^2 + 1 + 6x}{x} < 0$

Числитель дроби является полным квадратом суммы:

$\frac{(3x+1)^2}{x} < 0$

Проанализируем знаки числителя и знаменателя. Числитель $(3x+1)^2$ — это квадрат. По условию $x \neq -\frac{1}{3}$, поэтому $3x+1 \neq 0$. Значит, числитель строго положителен: $(3x+1)^2 > 0$. Знаменатель, по условию, отрицателен: $x < 0$.

Отношение положительного числителя к отрицательному знаменателю является отрицательным числом. Таким образом, неравенство $\frac{(3x+1)^2}{x} < 0$ верно, что и требовалось доказать.

Ответ: Что и требовалось доказать.

153. Пусть $a > b$. Доказать, что:

1) $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$, если $ab > 0$;

2) $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$, если $ab < 0$.

1)

По условию дано, что $a > b$ и $ab > 0$. Необходимо доказать, что $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$.

Для доказательства этого неравенства рассмотрим разность $\frac{1}{b} - \frac{1}{a}$ и определим её знак. Если мы покажем, что эта разность положительна, то это будет означать, что $\frac{1}{b} > \frac{1}{a}$, что эквивалентно доказываемому неравенству.

Приведём разность к общему знаменателю:
$\frac{1}{b} - \frac{1}{a} = \frac{a - b}{ab}$.

Проанализируем знаки числителя и знаменателя полученной дроби:
- Числитель $a - b$ является положительным числом, так как по условию $a > b$.
- Знаменатель $ab$ является положительным числом, так как по условию $ab > 0$.

Поскольку частное двух положительных чисел всегда положительно, то и вся дробь будет положительной:
$\frac{a-b}{ab} > 0$.

Таким образом, мы доказали, что $\frac{1}{b} - \frac{1}{a} > 0$. Перенеся $\frac{1}{a}$ в правую часть, получаем $\frac{1}{b} > \frac{1}{a}$, что равносильно $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2)

По условию дано, что $a > b$ и $ab < 0$. Необходимо доказать, что $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$.

Для доказательства этого неравенства рассмотрим разность $\frac{1}{a} - \frac{1}{b}$ и определим её знак. Если разность окажется положительной, то неравенство будет доказано.

Приведём разность к общему знаменателю:
$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b - a}{ab}$.

Проанализируем знаки числителя и знаменателя полученной дроби:
- Числитель $b - a$ является отрицательным числом, так как по условию $a > b$.
- Знаменатель $ab$ является отрицательным числом, согласно условию $ab < 0$.

Частное двух отрицательных чисел есть число положительное. Следовательно:
$\frac{b-a}{ab} > 0$.

Таким образом, мы доказали, что $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} > 0$. Перенеся $\frac{1}{b}$ в правую часть, получаем $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$.
Что и требовалось доказать.

Дополнительное рассуждение: Условие $ab < 0$ означает, что числа $a$ и $b$ имеют разные знаки. Так как по условию $a > b$, то $a$ должно быть положительным, а $b$ — отрицательным ($a > 0$, $b < 0$). В этом случае $\frac{1}{a}$ — положительное число, а $\frac{1}{b}$ — отрицательное. Любое положительное число больше любого отрицательного, поэтому $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$.

Ответ: Доказано.

154. Верно ли, что:

1) если $a<b$, то $\frac{a}{b}<1$;

2) если $\frac{a}{b}>1$, то $a>b$;

3) если $\frac{a}{b}<1$, то $\frac{b}{a}>1$;

4) если $a^2<1$, то $a<1$;

5) если $a>b$, то $a^2>b^2$;

6) если $a<b$, то $ab^2<b^3$?

1) если $a<b$, то $\frac{a}{b}<1$;
Данное утверждение не всегда верно. Правильность этого утверждения зависит от знака числа $b$.
Если $b > 0$, то при делении неравенства $a < b$ на $b$ знак неравенства сохраняется, и мы получаем $\frac{a}{b} < \frac{b}{b}$, то есть $\frac{a}{b} < 1$. В этом случае утверждение верно.
Однако, если $b < 0$, то при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $\frac{a}{b} > \frac{b}{b}$, то есть $\frac{a}{b} > 1$. В этом случае утверждение неверно.
Контрпример: пусть $a = -3$ и $b = -2$. Условие $a < b$ выполняется, так как $-3 < -2$. Но $\frac{a}{b} = \frac{-3}{-2} = 1.5$, что больше 1. Следовательно, утверждение в общем виде неверно.
Ответ: Неверно.

2) если $\frac{a}{b}>1$, то $a>b$;
Данное утверждение также не всегда верно. Его справедливость зависит от знака $b$.
Если $b > 0$, то умножив неравенство $\frac{a}{b} > 1$ на $b$, мы сохраним знак неравенства и получим $a > b$. В этом случае утверждение верно.
Если же $b < 0$, то при умножении на отрицательное число знак неравенства изменится на противоположный, и мы получим $a < b$. В этом случае утверждение неверно.
Контрпример: пусть $a = -3$ и $b = -2$. Тогда $\frac{a}{b} = \frac{-3}{-2} = 1.5$, что больше 1. Условие выполнено. Однако, неравенство $a > b$ ($-3 > -2$) является ложным. Таким образом, утверждение неверно.
Ответ: Неверно.

3) если $\frac{a}{b}<1$, то $\frac{b}{a}>1$;
Утверждение неверно. Оно верно только для случая $0 < \frac{a}{b} < 1$. Если же дробь $\frac{a}{b}$ отрицательна, то и обратная ей дробь $\frac{b}{a}$ будет отрицательной, а отрицательное число не может быть больше 1. (При этом, для существования дроби $\frac{b}{a}$ должно выполняться $a \neq 0$).
Контрпример: пусть $a = -1$ и $b = 2$. Тогда $\frac{a}{b} = \frac{-1}{2} = -0.5$. Условие $\frac{a}{b} < 1$ выполнено. Однако, обратная дробь $\frac{b}{a} = \frac{2}{-1} = -2$. Неравенство $\frac{b}{a} > 1$ (то есть $-2 > 1$) неверно.
Ответ: Неверно.

4) если $a^2<1$, то $a<1$;
Это утверждение верно. Решим неравенство $a^2 < 1$.
$a^2 - 1 < 0$
$(a-1)(a+1) < 0$
Решением этого неравенства является интервал $-1 < a < 1$. Любое число $a$, принадлежащее этому интервалу, меньше 1. Следовательно, из $a^2 < 1$ всегда следует, что $a < 1$.
Ответ: Верно.

5) если $a>b$, то $a^2>b^2$;
Утверждение неверно. Возведение в квадрат обеих частей неравенства сохраняет знак неравенства только если обе части неотрицательны. Если хотя бы одна часть отрицательна, результат может быть другим.
Контрпример: пусть $a = 1$ и $b = -2$. Условие $a > b$ выполняется, так как $1 > -2$.
Возведем в квадрат: $a^2 = 1^2 = 1$, $b^2 = (-2)^2 = 4$.
Неравенство $a^2 > b^2$ принимает вид $1 > 4$, что ложно.
Другой контрпример: $a = -2, b = -3$. Условие $a>b$ выполняется ($-2 > -3$). Но $a^2=4$, $b^2=9$, и неравенство $4>9$ ложно.
Ответ: Неверно.

6) если $a<b$, то $ab^2<b^3$?
Утверждение неверно. Преобразуем неравенство $ab^2 < b^3$:
$ab^2 - b^3 < 0$
$b^2(a-b) < 0$
Из условия $a < b$ следует, что $a - b < 0$. Выражение $b^2$ всегда неотрицательно ($b^2 \ge 0$).
Если $b \neq 0$, то $b^2 > 0$, и произведение $b^2(a-b)$ будет произведением положительного числа на отрицательное, то есть будет отрицательным. В этом случае неравенство $b^2(a-b) < 0$ верно.
Однако, если $b = 0$, то неравенство принимает вид $0 \cdot (a-0) < 0$, что упрощается до $0 < 0$. Это неравенство ложно.
Контрпример: пусть $b=0$ и $a=-1$. Условие $a<b$ выполняется ($-1 < 0$). Подставим значения в исходное неравенство: $(-1) \cdot 0^2 < 0^3$, что приводит к $0 < 0$. Это неверно. Следовательно, утверждение в общем виде неверно.
Ответ: Неверно.