Номер 153, страница 53 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 8. Основные свойства числовых неравенств. Глава 2. Неравенства - номер 153, страница 53.

Условие.

153. Пусть $a > b$. Доказать, что:

1) $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$, если $ab > 0$;

2) $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$, если $ab < 0$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

По условию дано, что $a > b$ и $ab > 0$. Необходимо доказать, что $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$.

Для доказательства этого неравенства рассмотрим разность $\frac{1}{b} - \frac{1}{a}$ и определим её знак. Если мы покажем, что эта разность положительна, то это будет означать, что $\frac{1}{b} > \frac{1}{a}$, что эквивалентно доказываемому неравенству.

Приведём разность к общему знаменателю:
$\frac{1}{b} - \frac{1}{a} = \frac{a - b}{ab}$.

Проанализируем знаки числителя и знаменателя полученной дроби:
- Числитель $a - b$ является положительным числом, так как по условию $a > b$.
- Знаменатель $ab$ является положительным числом, так как по условию $ab > 0$.

Поскольку частное двух положительных чисел всегда положительно, то и вся дробь будет положительной:
$\frac{a-b}{ab} > 0$.

Таким образом, мы доказали, что $\frac{1}{b} - \frac{1}{a} > 0$. Перенеся $\frac{1}{a}$ в правую часть, получаем $\frac{1}{b} > \frac{1}{a}$, что равносильно $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2)

По условию дано, что $a > b$ и $ab < 0$. Необходимо доказать, что $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$.

Для доказательства этого неравенства рассмотрим разность $\frac{1}{a} - \frac{1}{b}$ и определим её знак. Если разность окажется положительной, то неравенство будет доказано.

Приведём разность к общему знаменателю:
$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b - a}{ab}$.

Проанализируем знаки числителя и знаменателя полученной дроби:
- Числитель $b - a$ является отрицательным числом, так как по условию $a > b$.
- Знаменатель $ab$ является отрицательным числом, согласно условию $ab < 0$.

Частное двух отрицательных чисел есть число положительное. Следовательно:
$\frac{b-a}{ab} > 0$.

Таким образом, мы доказали, что $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} > 0$. Перенеся $\frac{1}{b}$ в правую часть, получаем $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$.
Что и требовалось доказать.

Дополнительное рассуждение: Условие $ab < 0$ означает, что числа $a$ и $b$ имеют разные знаки. Так как по условию $a > b$, то $a$ должно быть положительным, а $b$ — отрицательным ($a > 0$, $b < 0$). В этом случае $\frac{1}{a}$ — положительное число, а $\frac{1}{b}$ — отрицательное. Любое положительное число больше любого отрицательного, поэтому $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$.

Ответ: Доказано.