Страница 40 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

1. На координатной прямой отметить числа $0$; $-3,5$; $4$; $-\frac{1}{4}$.

1. Чтобы отметить заданные числа на координатной прямой, необходимо сначала построить саму прямую. Начертим горизонтальную линию, выберем на ней начало отсчета — точку 0, зададим единичный отрезок (масштаб) и укажем стрелкой положительное направление (вправо). Затем нанесем на прямую деления для целых чисел.

Теперь последовательно разместим на этой прямой заданные числа $0; -3,5; 4; -\frac{1}{4}$:

Число 0 — это начало отсчета, оно уже находится на своем месте.

Число 4 является положительным, поэтому его точка будет находиться справа от нуля. Отсчитываем 4 единичных отрезка вправо от точки 0 и отмечаем точку.

Число -3,5 является отрицательным, значит, его точка будет находиться слева от нуля. Отсчитываем 3,5 единичных отрезка влево от точки 0. Эта точка будет расположена ровно посередине между целыми числами -3 и -4.

Число $-\frac{1}{4}$ также отрицательное. Для удобства можно перевести его в десятичную дробь: $-\frac{1}{4} = -0.25$. Эта точка будет расположена слева от нуля, между 0 и -1. Чтобы найти ее точное положение, нужно разделить отрезок между 0 и -1 на четыре равные части и взять первую отметку слева от нуля.

Ниже представлена координатная прямая с отмеченными точками.

Ответ: Числа на координатной прямой располагаются в следующем порядке (слева направо): $-3,5$; $-\frac{1}{4}$; $0$; $4$.

2. Из чисел $-3$; $4$; $0$; $\frac{7}{10}$; $-4$; $15$; $-\frac{27}{3}$; $-11,3$; $1,2$; $-13\frac{1}{2}$; $\frac{24}{6}$ выбрать:

1) натуральные числа;

2) целые числа;

3) положительные числа;

4) отрицательные числа.

Для решения задачи сначала проанализируем и, где возможно, упростим предоставленный набор чисел: -3; 4; 0; $ \frac{7}{10} $ (равно 0,7); -4; 15; $ -\frac{27}{3} $ (равно -9); -11,3; 1,2; $ -13\frac{1}{2} $ (равно -13,5); $ \frac{24}{6} $ (равно 4).

1) натуральные числа

Натуральные числа — это целые положительные числа, которые используются при счёте (1, 2, 3, ...). Из данного списка необходимо выбрать все числа, которые являются целыми и строго больше нуля.
К таким числам относятся:
• 4 — является натуральным числом.
• 15 — является натуральным числом.
• $ \frac{24}{6} $, так как результат деления $ 24 \div 6 = 4 $, а 4 — это натуральное число.
Остальные числа не являются натуральными, так как они либо отрицательные, либо равны нулю, либо являются дробными.
Ответ: 4; 15; $ \frac{24}{6} $.

2) целые числа

Целые числа — это натуральные числа (1, 2, 3, ...), противоположные им отрицательные числа (-1, -2, -3, ...) и ноль. Целые числа не имеют дробной части.
Из данного списка к целым числам относятся:
• -3; 4; 0; -4; 15.
Также необходимо проверить дроби, которые в результате вычисления становятся целыми числами:
• $ -\frac{27}{3} $, так как $ -27 \div 3 = -9 $, а -9 — это целое число.
• $ \frac{24}{6} $, так как $ 24 \div 6 = 4 $, а 4 — это целое число.
Числа $ \frac{7}{10} $, -11,3, 1,2, $ -13\frac{1}{2} $ не являются целыми.
Ответ: -3; 4; 0; -4; 15; $ -\frac{27}{3} $; $ \frac{24}{6} $.

3) положительные числа

Положительные числа — это все числа, которые строго больше нуля. Они могут быть как целыми, так и дробными.
Из данного списка выберем числа, которые больше нуля:
• 4
• $ \frac{7}{10} $ (равно 0,7, что больше 0)
• 15
• 1,2
• $ \frac{24}{6} $ (равно 4, что больше 0)
Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным.
Ответ: 4; $ \frac{7}{10} $; 15; 1,2; $ \frac{24}{6} $.

4) отрицательные числа

Отрицательные числа — это все числа, которые строго меньше нуля. Они могут быть как целыми, так и дробными.
Из данного списка выберем числа, которые меньше нуля:
• -3
• -4
• $ -\frac{27}{3} $ (равно -9, что меньше 0)
• -11,3
• $ -13\frac{1}{2} $ (равно -13,5, что меньше 0)
Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным.
Ответ: -3; -4; $ -\frac{27}{3} $; -11,3; $ -13\frac{1}{2} $.

3. Для каждого из чисел $-1$; $5$; $-\frac{4}{5}$; $2\frac{1}{7}$; $-1\frac{2}{3}$; $a$; $-\frac{1}{b}$ записать число:

1) противоположное данному;

2) обратное данному.

1) противоположное данному;

Противоположное число — это число, которое при сложении с данным числом дает в результате ноль. Чтобы найти противоположное число для заданного, нужно изменить его знак на противоположный.

Найдем противоположные числа для каждого из данных:

- для $-1$ противоположное число: $-(-1) = 1$
- для $5$ противоположное число: $-5$
- для $-\frac{4}{5}$ противоположное число: $-(-\frac{4}{5}) = \frac{4}{5}$
- для $2\frac{1}{7}$ противоположное число: $-2\frac{1}{7}$
- для $-1\frac{2}{3}$ противоположное число: $-(-1\frac{2}{3}) = 1\frac{2}{3}$
- для $a$ противоположное число: $-a$
- для $-\frac{1}{b}$ противоположное число: $-(-\frac{1}{b}) = \frac{1}{b}$

Ответ: $1$; $-5$; $\frac{4}{5}$; $-2\frac{1}{7}$; $1\frac{2}{3}$; $-a$; $\frac{1}{b}$.

2) обратное данному.

Обратное число — это число, которое при умножении на данное дает в результате единицу. Для нахождения обратного числа $x$ (при $x \neq 0$) нужно вычислить $\frac{1}{x}$. Для дроби $\frac{p}{q}$ обратным числом будет $\frac{q}{p}$. Смешанные числа для удобства следует сначала перевести в неправильные дроби.

Найдем обратные числа для каждого из данных:

- для $-1$: обратное число $\frac{1}{-1} = -1$
- для $5$: обратное число $\frac{1}{5}$
- для $-\frac{4}{5}$: обратное число $\frac{1}{-\frac{4}{5}} = -\frac{5}{4}$
- для $2\frac{1}{7}$: переводим в неправильную дробь $2\frac{1}{7} = \frac{15}{7}$, обратное число $\frac{7}{15}$
- для $-1\frac{2}{3}$: переводим в неправильную дробь $-1\frac{2}{3} = -\frac{5}{3}$, обратное число $-\frac{3}{5}$
- для $a$ (при $a \neq 0$): обратное число $\frac{1}{a}$
- для $-\frac{1}{b}$ (при $b \neq 0$): обратное число $\frac{1}{-\frac{1}{b}} = -b$

Ответ: $-1$; $\frac{1}{5}$; $-\frac{5}{4}$; $\frac{7}{15}$; $-\frac{3}{5}$; $\frac{1}{a}$; $-b$.

4. С помощью знака неравенства записать результат сравнения с нулём числа $-0,3$; $\frac{5}{6}$; $5\frac{3}{7}$; $-3,1$.

Для сравнения числа с нулём необходимо определить его знак. Положительные числа всегда больше нуля (используется знак $ > $), а отрицательные числа всегда меньше нуля (используется знак $ < $). Рассмотрим каждое из предложенных чисел.

-0,3

Число $-0,3$ имеет знак «минус», что означает, что оно является отрицательным. Любое отрицательное число меньше нуля. Поэтому для сравнения с нулём мы используем знак «меньше».

Ответ: $-0,3 < 0$

$\frac{5}{6}$

Число $\frac{5}{6}$ — это обыкновенная дробь. Так как и числитель $5$, и знаменатель $6$ являются положительными числами, сама дробь также является положительной. Любое положительное число больше нуля. Поэтому для сравнения с нулём мы используем знак «больше».

Ответ: $\frac{5}{6} > 0$

$5\frac{3}{7}$

Число $5\frac{3}{7}$ — это смешанное число. Оно состоит из положительной целой части $5$ и положительной дробной части $\frac{3}{7}$. Сумма двух положительных чисел является положительным числом. Любое положительное число больше нуля. Поэтому для сравнения с нулём мы используем знак «больше».

Ответ: $5\frac{3}{7} > 0$

-3,1

Число $-3,1$ имеет знак «минус», что означает, что оно является отрицательным. Любое отрицательное число меньше нуля. Поэтому для сравнения с нулём мы используем знак «меньше».

Ответ: $-3,1 < 0$

5. Вычислить:

1) $-6.8+(-2.2)$;

2) $-4.3-1.7$;

3) $-7.2 : 0.9$;

4) $-35 \cdot (-0.1)$.

1) Вычислим сумму двух отрицательных чисел $-6,8$ и $-2,2$. Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули (абсолютные величины) и перед полученным результатом поставить знак минус. Это можно записать так:

$-6,8 + (-2,2) = -(6,8 + 2,2)$

Сначала выполним сложение в скобках:

$6,8 + 2,2 = 9,0$

Теперь добавим знак минус:

$-(6,8 + 2,2) = -9$

Ответ: -9.

2) Вычислим разность $-4,3 - 1,7$. Вычитание положительного числа из отрицательного эквивалентно сложению двух отрицательных чисел:

$-4,3 - 1,7 = -4,3 + (-1,7)$

Применим то же правило, что и в первом пункте: сложим модули чисел и поставим перед результатом знак минус.

$-(4,3 + 1,7)$

Сложим числа в скобках:

$4,3 + 1,7 = 6,0$

Результат будет отрицательным:

$-(4,3 + 1,7) = -6$

Ответ: -6.

3) Вычислим частное $-7,2 : 0,9$. При делении отрицательного числа на положительное, результат всегда будет отрицательным. Сначала разделим модули этих чисел.

$|-7,2| : |0,9| = 7,2 : 0,9$

Чтобы упростить деление на десятичную дробь, можно умножить делимое и делитель на 10:

$(7,2 \cdot 10) : (0,9 \cdot 10) = 72 : 9$

$72 : 9 = 8$

Так как знаки у исходных чисел были разные, ставим перед результатом знак минус.

$-7,2 : 0,9 = -8$

Ответ: -8.

4) Вычислим произведение $-35 \cdot (-0,1)$. При умножении двух отрицательных чисел результат всегда будет положительным ("минус на минус дает плюс"). Для вычисления нужно перемножить их модули.

$|-35| \cdot |-0,1| = 35 \cdot 0,1$

Умножение на $0,1$ — это то же самое, что деление на 10. Поэтому, чтобы умножить $35$ на $0,1$, нужно перенести запятую на один знак влево.

$35 \cdot 0,1 = 3,5$

Поскольку мы умножали два отрицательных числа, результат положительный.

$-35 \cdot (-0,1) = 3,5$

Ответ: 3,5.

Вычислить устно (97–100).

97. 1) $1,2 \cdot 6;$ 2) $ \frac{1}{2} \cdot (-2); $ 3) $ (-\frac{1}{7}) \cdot \frac{7}{9}; $ 4) $ (-3) \cdot (-\frac{1}{3}). $

1) Для вычисления произведения $1,2 \cdot 6$ можно умножить числа, не обращая внимания на запятую: $12 \cdot 6 = 72$. Поскольку в первом множителе $1,2$ один знак после запятой, в итоговом произведении также необходимо отделить один знак запятой справа. Таким образом, $1,2 \cdot 6 = 7,2$.
Ответ: 7,2

2) При умножении положительного числа на отрицательное результат будет отрицательным. Вычислим произведение их модулей: $\frac{1}{2} \cdot 2 = \frac{1 \cdot 2}{2} = 1$. С учетом знака, произведение равно $-1$.
Ответ: -1

3) Произведение отрицательного числа на положительное является отрицательным. Чтобы перемножить дроби, необходимо перемножить их числители и знаменатели: $\frac{1}{7} \cdot \frac{7}{9} = \frac{1 \cdot 7}{7 \cdot 9}$. Сократив общий множитель $7$ в числителе и знаменателе, получаем $\frac{1}{9}$. Так как итоговый результат отрицательный, то $(-\frac{1}{7}) \cdot \frac{7}{9} = -\frac{1}{9}$.
Ответ: $-\frac{1}{9}$

4) Произведение двух отрицательных чисел является положительным. Следовательно, $(-3) \cdot (-\frac{1}{3}) = 3 \cdot \frac{1}{3}$. Произведение числа на обратное ему равно единице: $3 \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{1} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 1}{1 \cdot 3} = 1$.
Ответ: 1

98. 1) $0.2 \cdot 6 \cdot 5;$

2) $(-2) \cdot 4 \cdot 5;$

3) $0.2 \cdot (-5) \cdot 6;$

4) $5 \cdot (-0.2) \cdot (-4);$

5) $(-6) \cdot 0.4 \cdot (-5);$

6) $(-6) \cdot (-4) \cdot (-3).$

1) Для удобства вычислений воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами умножения. Сначала умножим $0,2$ на $5$, а затем результат умножим на $6$.

$0,2 \cdot 5 = 1$

$1 \cdot 6 = 6$

Таким образом, $0,2 \cdot 6 \cdot 5 = (0,2 \cdot 5) \cdot 6 = 1 \cdot 6 = 6$.

Ответ: $6$

2) Сгруппируем множители для упрощения расчета. Умножим $4$ на $5$, а затем $(-2)$ на полученный результат.

$4 \cdot 5 = 20$

При умножении отрицательного числа на положительное получается отрицательное число.

$(-2) \cdot 20 = -40$

Таким образом, $(-2) \cdot 4 \cdot 5 = (-2) \cdot (4 \cdot 5) = (-2) \cdot 20 = -40$.

Ответ: $-40$

3) Вычислим произведение по шагам. Сначала умножим $0,2$ на $(-5)$. При умножении положительного числа на отрицательное результат будет отрицательным.

$0,2 \cdot (-5) = - (0,2 \cdot 5) = -1$

Теперь умножим полученный результат на $6$.

$(-1) \cdot 6 = -6$

Следовательно, $0,2 \cdot (-5) \cdot 6 = (-1) \cdot 6 = -6$.

Ответ: $-6$

4) В данном выражении два отрицательных множителя. Произведение четного числа отрицательных чисел является положительным числом. Поэтому результат будет положительным.

Найдем произведение модулей чисел: $5 \cdot 0,2 \cdot 4$.

Сначала умножим $5$ на $0,2$.

$5 \cdot 0,2 = 1$

Затем умножим результат на $4$.

$1 \cdot 4 = 4$

Таким образом, $5 \cdot (-0,2) \cdot (-4) = (5 \cdot (-0,2)) \cdot (-4) = (-1) \cdot (-4) = 4$.

Ответ: $4$

5) В этом выражении два отрицательных множителя ($-6$ и $-5$). Произведение двух отрицательных чисел положительно. Значит, итоговый результат будет положительным.

Найдем произведение модулей: $6 \cdot 0,4 \cdot 5$. Удобнее сначала умножить $0,4$ на $5$.

$0,4 \cdot 5 = 2$

Теперь умножим $6$ на полученный результат.

$6 \cdot 2 = 12$

Таким образом, $(-6) \cdot 0,4 \cdot (-5) = (-6) \cdot (-5) \cdot 0,4 = 30 \cdot 0,4 = 12$.

Ответ: $12$

6) В выражении три отрицательных множителя. Произведение нечетного числа отрицательных чисел является отрицательным числом. Следовательно, результат будет отрицательным.

Найдем произведение модулей чисел: $6 \cdot 4 \cdot 3$.

Выполним умножение последовательно.

$6 \cdot 4 = 24$

$24 \cdot 3 = 72$

Учитывая знак, получаем: $(-6) \cdot (-4) \cdot (-3) = 24 \cdot (-3) = -72$.

Ответ: $-72$

99. 1) $36 : 3;$

2) $(-36) : 2;$

3) $655 : (-5);$

4) $(-0,4) : 8;$

5) $(-80) : (-16);$

6) $(-0,9) : (-0,3).$

1) Для того чтобы разделить 36 на 3, мы выполняем стандартное деление двух положительных чисел.
$36 : 3 = 12$
Ответ: 12

2) При делении отрицательного числа (-36) на положительное число (2), частное будет отрицательным. Сначала мы делим модули этих чисел, а затем ставим знак "минус" перед результатом.
$|-36| : |2| = 36 : 2 = 18$
Так как знаки у чисел разные, результат будет отрицательным.
$(-36) : 2 = -18$
Ответ: -18

3) При делении положительного числа (655) на отрицательное число (-5), частное будет отрицательным. Сначала мы делим модули этих чисел.
$|655| : |-5| = 655 : 5 = 131$
Так как знаки у чисел разные, результат будет отрицательным.
$655 : (-5) = -131$
Ответ: -131

4) При делении отрицательного числа (-0,4) на положительное число (8), частное будет отрицательным. Делим модули чисел.
$|-0,4| : |8| = 0,4 : 8$
Чтобы разделить 0,4 на 8, можно представить 0,4 как обыкновенную дробь.
$0,4 : 8 = \frac{4}{10} : 8 = \frac{4}{10 \cdot 8} = \frac{4}{80} = \frac{1}{20} = 0,05$
Так как знаки у исходных чисел разные, результат будет отрицательным.
$(-0,4) : 8 = -0,05$
Ответ: -0,05

5) При делении двух отрицательных чисел (-80) и (-16), частное будет положительным. Мы делим модули этих чисел.
$|-80| : |-16| = 80 : 16 = 5$
Так как знаки у чисел одинаковые, результат будет положительным.
$(-80) : (-16) = 5$
Ответ: 5

6) При делении двух отрицательных чисел (-0,9) и (-0,3), частное будет положительным. Мы делим модули этих чисел.
$|-0,9| : |-0,3| = 0,9 : 0,3$
Чтобы разделить десятичные дроби, можно умножить делимое и делитель на 10, чтобы избавиться от запятой.
$0,9 : 0,3 = (0,9 \cdot 10) : (0,3 \cdot 10) = 9 : 3 = 3$
Так как знаки у чисел одинаковые, результат будет положительным.
$(-0,9) : (-0,3) = 3$
Ответ: 3

100. 1) $2 \cdot (-15) : 3;$

2) $(-0,4) \cdot (-5) : 2;$

3) $6 \cdot (-8) : (-12);$

4) $(-6) \cdot (-12) : (-8);$

5) $(-45) : 3 \cdot (-2);$

6) $(-55) : (-11) \cdot (-3).$

1) Для решения выражения $2 \cdot (-15) : 3$ необходимо выполнить действия в порядке их следования: сначала умножение, затем деление.
Первое действие (умножение): $2 \cdot (-15) = -30$.
Второе действие (деление): $-30 : 3 = -10$.
Полное решение: $2 \cdot (-15) : 3 = -30 : 3 = -10$.
Ответ: -10.

2) Для решения выражения $(-0,4) \cdot (-5) : 2$ сначала выполним умножение, а затем деление.
Первое действие (умножение): $(-0,4) \cdot (-5) = 2$. Произведение двух отрицательных чисел дает положительное число.
Второе действие (деление): $2 : 2 = 1$.
Полное решение: $(-0,4) \cdot (-5) : 2 = 2 : 2 = 1$.
Ответ: 1.

3) Для решения выражения $6 \cdot (-8) : (-12)$ сначала выполним умножение, а затем деление.
Первое действие (умножение): $6 \cdot (-8) = -48$.
Второе действие (деление): $-48 : (-12) = 4$. Частное от деления двух отрицательных чисел дает положительное число.
Полное решение: $6 \cdot (-8) : (-12) = -48 : (-12) = 4$.
Ответ: 4.

4) Для решения выражения $(-6) \cdot (-12) : (-8)$ сначала выполним умножение, а затем деление.
Первое действие (умножение): $(-6) \cdot (-12) = 72$. Произведение двух отрицательных чисел дает положительное число.
Второе действие (деление): $72 : (-8) = -9$.
Полное решение: $(-6) \cdot (-12) : (-8) = 72 : (-8) = -9$.
Ответ: -9.

5) В выражении $(-45) : 3 \cdot (-2)$ операции деления и умножения имеют одинаковый приоритет, поэтому выполняем их по порядку слева направо.
Первое действие (деление): $(-45) : 3 = -15$.
Второе действие (умножение): $-15 \cdot (-2) = 30$. Произведение двух отрицательных чисел дает положительное число.
Полное решение: $(-45) : 3 \cdot (-2) = -15 \cdot (-2) = 30$.
Ответ: 30.

6) В выражении $(-55) : (-11) \cdot (-3)$ операции деления и умножения имеют одинаковый приоритет, поэтому выполняем их по порядку слева направо.
Первое действие (деление): $(-55) : (-11) = 5$. Частное от деления двух отрицательных чисел дает положительное число.
Второе действие (умножение): $5 \cdot (-3) = -15$.
Полное решение: $(-55) : (-11) \cdot (-3) = 5 \cdot (-3) = -15$.
Ответ: -15.

101. Найти числовое значение выражения:

1) $a^3b^2c^2$ при $a=-1, b=-3, c=2;$

2) $ab^3c^2$ при $a=-2, b=-1, c=-3;$

3) $\frac{a^3b^2}{c^3}$ при $a=-2, b=-3, c=-1;$

4) $\frac{ab^3}{c^2}$ при $a=8, b=-1, c=-2.$

1) Чтобы найти значение выражения $a^3b^2c^2$ при $a=-1, b=-3, c=2$, необходимо подставить числовые значения переменных в выражение и выполнить вычисления, соблюдая порядок действий.

Подставляем значения:

$(-1)^3 \cdot (-3)^2 \cdot 2^2$

Сначала выполняем возведение в степень:

$(-1)^3 = (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = -1$

$(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9$

$2^2 = 2 \cdot 2 = 4$

Теперь перемножаем полученные результаты:

$-1 \cdot 9 \cdot 4 = -9 \cdot 4 = -36$

Ответ: -36

2) Чтобы найти значение выражения $ab^3c^2$ при $a=-2, b=-1, c=-3$, подставляем значения переменных в выражение.

$(-2) \cdot (-1)^3 \cdot (-3)^2$

Выполняем возведение в степень:

$(-1)^3 = -1$

$(-3)^2 = 9$

Подставляем полученные значения обратно в выражение и вычисляем произведение:

$(-2) \cdot (-1) \cdot 9 = 2 \cdot 9 = 18$

Ответ: 18

3) Чтобы найти значение выражения $\frac{a^3b^2}{c^3}$ при $a=-2, b=-3, c=-1$, подставляем значения в числитель и знаменатель дроби.

$\frac{(-2)^3 \cdot (-3)^2}{(-1)^3}$

Вычисляем значение числителя:

$(-2)^3 = -8$

$(-3)^2 = 9$

$-8 \cdot 9 = -72$

Вычисляем значение знаменателя:

$(-1)^3 = -1$

Теперь делим числитель на знаменатель:

$\frac{-72}{-1} = 72$

Ответ: 72

4) Чтобы найти значение выражения $\frac{ab^3}{c^2}$ при $a=8, b=-1, c=-2$, подставляем значения переменных.

$\frac{8 \cdot (-1)^3}{(-2)^2}$

Вычисляем числитель:

$(-1)^3 = -1$

$8 \cdot (-1) = -8$

Вычисляем знаменатель:

$(-2)^2 = 4$

Выполняем деление:

$\frac{-8}{4} = -2$

Ответ: -2