Страница 34 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

6. Доказать, что сумма дробей $ \frac{2-a}{a+2} $, $ \frac{2a}{2-a} $ и $ \frac{4a^2}{a^2-4} $ равна 1.

Чтобы доказать, что сумма дробей равна 1, необходимо выполнить их сложение, предварительно приведя их к общему знаменателю.

Запишем сумму:

$\frac{2-a}{a+2} + \frac{2a}{2-a} + \frac{4a^2}{a^2-4}$

Для начала преобразуем знаменатели. Знаменатель третьей дроби, $a^2-4$, является разностью квадратов и может быть разложен на множители: $a^2-4 = (a-2)(a+2)$.

Знаменатель второй дроби, $2-a$, можно представить как $-(a-2)$. Это позволит нам привести все дроби к общему знаменателю $(a-2)(a+2)$.

Перепишем исходное выражение с учетом преобразований:

$\frac{2-a}{a+2} + \frac{2a}{-(a-2)} + \frac{4a^2}{(a-2)(a+2)} = \frac{2-a}{a+2} - \frac{2a}{a-2} + \frac{4a^2}{(a-2)(a+2)}$

Теперь приведем дроби к общему знаменателю $(a-2)(a+2)$. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на $(a-2)$, а второй дроби — на $(a+2)$.

$\frac{(2-a)(a-2)}{(a+2)(a-2)} - \frac{2a(a+2)}{(a-2)(a+2)} + \frac{4a^2}{(a-2)(a+2)}$

Запишем все под общей дробной чертой и раскроем скобки в числителе. Обратим внимание, что $(2-a)(a-2) = -(a-2)^2 = -(a^2-4a+4) = -a^2+4a-4$.

$\frac{(-a^2+4a-4) - (2a^2+4a) + 4a^2}{(a-2)(a+2)} = \frac{-a^2+4a-4 - 2a^2-4a + 4a^2}{(a-2)(a+2)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(-a^2 - 2a^2 + 4a^2) + (4a - 4a) - 4}{(a-2)(a+2)} = \frac{a^2 - 4}{(a-2)(a+2)}$

Так как знаменатель $(a-2)(a+2)$ равен $a^2-4$, мы получаем:

$\frac{a^2-4}{a^2-4} = 1$

Равенство выполняется для всех допустимых значений переменной $a$ (то есть при $a \ne 2$ и $a \ne -2$).

Ответ: Сумма дробей равна 1, что и требовалось доказать.

7. Упростить выражение

$ \left( x + 3 + \frac{18}{x - 3} \right) \cdot \frac{2x^2 - 12x + 18}{x^2 + 9} $.

Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку. Сначала преобразуем выражение в скобках, приведя его к общему знаменателю.

1. Упрощение выражения в скобках:

Приведем слагаемые $x$ и $3$ к общему знаменателю $(x-3)$:
$x + 3 + \frac{18}{x-3} = \frac{x(x-3)}{x-3} + \frac{3(x-3)}{x-3} + \frac{18}{x-3}$

Объединим дроби в одну:
$\frac{x(x-3) + 3(x-3) + 18}{x-3} = \frac{x^2 - 3x + 3x - 9 + 18}{x-3} = \frac{x^2 + 9}{x-3}$

Также можно было сгруппировать первые два слагаемых и применить формулу разности квадратов:
$(x+3) + \frac{18}{x-3} = \frac{(x+3)(x-3)}{x-3} + \frac{18}{x-3} = \frac{x^2 - 9 + 18}{x-3} = \frac{x^2 + 9}{x-3}$

2. Упрощение второй дроби:

Рассмотрим числитель дроби $2x^2 - 12x + 18$. Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$2x^2 - 12x + 18 = 2(x^2 - 6x + 9)$

Выражение в скобках $x^2 - 6x + 9$ является полным квадратом разности $(x-3)^2$.
Таким образом, вторая дробь равна:
$\frac{2(x-3)^2}{x^2 + 9}$

3. Умножение и сокращение:

Теперь перемножим результаты, полученные в шагах 1 и 2:
$(\frac{x^2 + 9}{x-3}) \cdot \frac{2(x-3)^2}{x^2 + 9}$

Запишем все под одной дробной чертой и произведем сокращение. Область допустимых значений выражения определяется условиями $x-3 \neq 0$ и $x^2+9 \neq 0$. Второе условие выполняется всегда для действительных $x$, а первое дает $x \neq 3$.
$\frac{(x^2 + 9) \cdot 2(x-3)^2}{(x-3) \cdot (x^2 + 9)} = \frac{\cancel{(x^2 + 9)} \cdot 2(x-3)^{\cancel{2}}}{\cancel{(x-3)} \cdot \cancel{(x^2 + 9)}} = 2(x-3)$

Ответ: $2(x-3)$.

$\frac{(x-3)^2}{12} - \frac{2x^2+5}{4} + \frac{1.25x^2-1}{3} = \frac{2}{3}$

Для решения данного уравнения первым шагом избавимся от дробей. Для этого умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 12, 4 и 3. НОК(12, 4, 3) = 12.

Исходное уравнение:

$$ \frac{(x-3)^2}{12} - \frac{2x^2+5}{4} + \frac{1.25x^2-1}{3} = \frac{2}{3} $$

Умножаем каждый член уравнения на 12:

$$ 12 \cdot \frac{(x-3)^2}{12} - 12 \cdot \frac{2x^2+5}{4} + 12 \cdot \frac{1.25x^2-1}{3} = 12 \cdot \frac{2}{3} $$

После сокращения дробей получаем:

$$ 1 \cdot (x-3)^2 - 3 \cdot (2x^2+5) + 4 \cdot (1.25x^2-1) = 4 \cdot 2 $$

$$ (x-3)^2 - 3(2x^2+5) + 4(1.25x^2-1) = 8 $$

Теперь раскроем скобки. Для первого слагаемого используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Остальные скобки раскрываем с помощью распределительного закона умножения.

$$ (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - (3 \cdot 2x^2 + 3 \cdot 5) + (4 \cdot 1.25x^2 - 4 \cdot 1) = 8 $$

$$ (x^2 - 6x + 9) - (6x^2 + 15) + (5x^2 - 4) = 8 $$

Уберем скобки, обращая внимание на знаки перед ними:

$$ x^2 - 6x + 9 - 6x^2 - 15 + 5x^2 - 4 = 8 $$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: члены с $x^2$, члены с $x$ и свободные члены.

$$ (x^2 - 6x^2 + 5x^2) - 6x + (9 - 15 - 4) = 8 $$

Выполним вычисления в скобках:

$$ (1 - 6 + 5)x^2 - 6x + (-10) = 8 $$

$$ 0 \cdot x^2 - 6x - 10 = 8 $$

Слагаемые, содержащие $x^2$, взаимно уничтожились ($0 \cdot x^2 = 0$), и уравнение стало линейным:

$$ -6x - 10 = 8 $$

Перенесем -10 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$$ -6x = 8 + 10 $$

$$ -6x = 18 $$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на -6:

$$ x = \frac{18}{-6} $$

$$ x = -3 $$

Ответ: $x = -3$.

9. Найти допустимые значения букв, входящих в дробь:

а) $\frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2}$;

б) $\frac{1 - b}{|b|}$;

в) $\frac{9}{a^2 - 9}$.

а)

Допустимые значения переменных в дроби — это те значения, при которых знаменатель дроби не равен нулю. В дроби $\frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2}$ знаменатель равен $a^2 + b^2$.

Найдем значения $a$ и $b$, при которых знаменатель обращается в ноль: $a^2 + b^2 = 0$.

Поскольку $a^2 \geq 0$ и $b^2 \geq 0$ для любых действительных чисел $a$ и $b$, их сумма $a^2 + b^2$ может быть равна нулю только в том случае, если оба слагаемых одновременно равны нулю:

$a^2 = 0$ и $b^2 = 0$.

Это означает, что $a = 0$ и $b = 0$.

Таким образом, знаменатель дроби равен нулю только тогда, когда $a$ и $b$ равны нулю одновременно. Следовательно, для того чтобы дробь имела смысл, необходимо, чтобы значения $a$ и $b$ не были равны нулю одновременно.

Ответ: $a$ и $b$ — любые числа, за исключением случая, когда $a=0$ и $b=0$ одновременно.

б)

В дроби $\frac{1 - b}{|b|}$ знаменатель равен $|b|$.

Найдем значение $b$, при котором знаменатель обращается в ноль: $|b| = 0$.

Модуль числа равен нулю тогда и только тогда, когда само число равно нулю. Следовательно, $b = 0$.

Таким образом, дробь имеет смысл при всех значениях $b$, кроме $b=0$.

Ответ: $b$ — любое число, кроме $b=0$.

в)

В дроби $\frac{9}{a^2 - 9}$ знаменатель равен $a^2 - 9$.

Найдем значения $a$, при которых знаменатель обращается в ноль: $a^2 - 9 = 0$.

Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$(a - 3)(a + 3) = 0$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$a - 3 = 0$ или $a + 3 = 0$.

Из первого уравнения получаем $a = 3$, из второго $a = -3$.

Таким образом, знаменатель дроби равен нулю при $a = 3$ и $a = -3$. Следовательно, допустимыми являются все значения $a$, кроме $3$ и $-3$.

Ответ: $a$ — любое число, кроме $a=3$ и $a=-3$.

10. Сократить дробь:

а) $\frac{5a}{|a|}$

б) $\frac{2|a-1|}{a-1}$

а) Для сокращения дроби $\frac{5a}{|a|}$ необходимо рассмотреть поведение модуля $|a|$ в зависимости от знака переменной $a$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $a \neq 0$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $a > 0$, то по определению модуля $|a| = a$. Подставим это значение в дробь:
$\frac{5a}{|a|} = \frac{5a}{a}$
Сокращая на $a$ (что возможно, так как $a \neq 0$), получаем:
$\frac{5a}{a} = 5$.

2. Если $a < 0$, то по определению модуля $|a| = -a$. Подставим это значение в дробь:
$\frac{5a}{|a|} = \frac{5a}{-a}$
Сокращая на $a$, получаем:
$\frac{5a}{-a} = -5$.

Таким образом, выражение можно записать в виде системы.

Ответ: $\begin{cases} 5, & \text{при } a > 0 \\ -5, & \text{при } a < 0 \end{cases}$.

б) Для сокращения дроби $\frac{2|a-1|}{a-1}$ необходимо рассмотреть поведение модуля $|a-1|$ в зависимости от знака выражения $a-1$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $a-1 \neq 0$, что означает $a \neq 1$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $a-1 > 0$, то есть $a > 1$. В этом случае по определению модуля $|a-1| = a-1$. Подставим это значение в дробь:
$\frac{2|a-1|}{a-1} = \frac{2(a-1)}{a-1}$
Сокращая на $a-1$ (что возможно, так как $a-1 \neq 0$), получаем:
$\frac{2(a-1)}{a-1} = 2$.

2. Если $a-1 < 0$, то есть $a < 1$. В этом случае по определению модуля $|a-1| = -(a-1)$. Подставим это значение в дробь:
$\frac{2|a-1|}{a-1} = \frac{2(-(a-1))}{a-1}$
Сокращая на $a-1$, получаем:
$\frac{-2(a-1)}{a-1} = -2$.

Таким образом, выражение можно записать в виде системы.

Ответ: $\begin{cases} 2, & \text{при } a > 1 \\ -2, & \text{при } a < 1 \end{cases}$.

11. Доказать, что значение выражения

$ \frac{x-3}{x^2-10x+25} - \frac{3-4x}{10x-25-x^2} + \frac{4x-5}{(5-x)^2} $

не может быть равно 0 ни при каких допустимых значениях x.

Для доказательства утверждения, сперва упростим данное алгебраическое выражение. Рассмотрим знаменатели каждой дроби.

1. Знаменатель первой дроби: $x^2 - 10x + 25$. Это полный квадрат разности: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = (x-5)^2$.

2. Знаменатель второй дроби: $10x - 25 - x^2$. Вынесем знак минус за скобки: $-(x^2 - 10x + 25) = -(x-5)^2$.

3. Знаменатель третьей дроби: $(5-x)^2$. Так как $(a-b)^2 = (b-a)^2$, то $(5-x)^2 = (x-5)^2$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатели не равны нулю. Во всех трех случаях это приводит к одному и тому же условию: $(x-5)^2 \neq 0$, что означает $x-5 \neq 0$, следовательно, $x \neq 5$.

Теперь перепишем исходное выражение, используя преобразованные знаменатели:

$\frac{x-3}{(x-5)^2} - \frac{3-4x}{-(x-5)^2} + \frac{4x-5}{(x-5)^2}$

Упростим второй член выражения. Знак минус в знаменателе можно перенести перед дробью:

$\frac{x-3}{(x-5)^2} - (-\frac{3-4x}{(x-5)^2}) + \frac{4x-5}{(x-5)^2} = \frac{x-3}{(x-5)^2} + \frac{3-4x}{(x-5)^2} + \frac{4x-5}{(x-5)^2}$

Теперь все дроби имеют общий знаменатель $(x-5)^2$. Сложим их числители:

$\frac{(x-3) + (3-4x) + (4x-5)}{(x-5)^2}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{x - 3 + 3 - 4x + 4x - 5}{(x-5)^2} = \frac{x - 5}{(x-5)^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(x-5)$, что допустимо, так как в ОДЗ $x \neq 5$:

$\frac{1}{x-5}$

Таким образом, исходное выражение для всех допустимых значений $x$ равно $\frac{1}{x-5}$.

Чтобы значение выражения было равно нулю, необходимо, чтобы числитель дроби был равен нулю. В нашем случае числитель равен 1. Так как $1 \neq 0$, то и значение выражения $\frac{1}{x-5}$ никогда не может быть равно нулю.

Следовательно, исходное выражение не может быть равно 0 ни при каких допустимых значениях $x$.

Ответ: Исходное выражение было упрощено до вида $\frac{1}{x-5}$ при условии $x \neq 5$. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. В данном случае числитель равен 1, что не равно нулю. Поэтому значение выражения не может быть равно 0 ни при каких допустимых значениях $x$. Что и требовалось доказать.

12. Найти значение выражения

$\frac{3m^{3n}}{m^{3n} + n^{3n}} \cdot \frac{m^n + n^n}{m^n} - \frac{3m^{2n}}{m^{2n} - m^n n^n + n^{2n}}$

Для решения данной задачи упростим заданное алгебраическое выражение. Чтобы сделать выражение более наглядным, введем замену переменных.

Пусть $x = m^n$ и $y = n^n$.

Тогда исходное выражение можно переписать в следующем виде, подставив $x$ и $y$:

$m^{2n} = (m^n)^2 = x^2$

$n^{2n} = (n^n)^2 = y^2$

$m^{3n} = (m^n)^3 = x^3$

$n^{3n} = (n^n)^3 = y^3$

Исходное выражение принимает вид:

$$ \frac{3x^3}{x^3 + y^3} \cdot \frac{x + y}{x} - \frac{3x^2}{x^2 - xy + y^2} $$

Теперь упростим первое слагаемое. Для этого воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.

Подставим разложение в знаменатель первой дроби:

$$ \frac{3x^3}{(x+y)(x^2 - xy + y^2)} \cdot \frac{x + y}{x} $$

Сократим общие множители. Множитель $(x+y)$ присутствует в числителе второй дроби и в знаменателе первой, поэтому они сокращаются. Также сократим $x$ в числителе первой дроби и знаменателе второй:

$$ \frac{3x^{3-1}}{x^2 - xy + y^2} = \frac{3x^2}{x^2 - xy + y^2} $$

Теперь подставим полученное упрощенное выражение обратно в исходное уравнение:

$$ \frac{3x^2}{x^2 - xy + y^2} - \frac{3x^2}{x^2 - xy + y^2} $$

Мы получили разность двух одинаковых дробей. Результат такого вычитания равен нулю.

$$ \frac{3x^2}{x^2 - xy + y^2} - \frac{3x^2}{x^2 - xy + y^2} = 0 $$

Таким образом, значение исходного выражения не зависит от значений $m$ и $n$ и всегда равно 0.

Ответ: $0$

13. Решить уравнение

$\frac{(x+a)^2}{2} - \frac{(x-a)^2}{4} + \frac{x}{2} = \frac{a^2 + x^2 + 3}{4}$

Для решения данного уравнения с параметром $a$ выполним следующие шаги. Сначала избавимся от знаменателей, умножив все уравнение на наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 4, то есть на 4.

Исходное уравнение:

$$ \frac{(x+a)^2}{2} - \frac{(x-a)^2}{4} + \frac{x}{2} = \frac{a^2 + x^2 + 3}{4} $$

Умножаем обе части на 4:

$$ 4 \cdot \frac{(x+a)^2}{2} - 4 \cdot \frac{(x-a)^2}{4} + 4 \cdot \frac{x}{2} = 4 \cdot \frac{a^2 + x^2 + 3}{4} $$

После сокращения получаем:

$$ 2(x+a)^2 - (x-a)^2 + 2x = a^2 + x^2 + 3 $$

Теперь раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$$ 2(x^2 + 2ax + a^2) - (x^2 - 2ax + a^2) + 2x = a^2 + x^2 + 3 $$

Распределим множители и приведем подобные слагаемые:

$$ 2x^2 + 4ax + 2a^2 - x^2 + 2ax - a^2 + 2x = a^2 + x^2 + 3 $$

Сгруппируем и упростим левую часть:

$$ (2x^2 - x^2) + (4ax + 2ax) + (2a^2 - a^2) + 2x = a^2 + x^2 + 3 $$

$$ x^2 + 6ax + a^2 + 2x = a^2 + x^2 + 3 $$

Перенесем все члены с правой части в левую, чтобы собрать все слагаемые с одной стороны:

$$ x^2 + 6ax + a^2 + 2x - a^2 - x^2 - 3 = 0 $$

Приведем подобные слагаемые еще раз. Заметим, что члены с $x^2$ и $a^2$ взаимно уничтожаются:

$$ (x^2 - x^2) + (a^2 - a^2) + 6ax + 2x - 3 = 0 $$

$$ 6ax + 2x - 3 = 0 $$

Уравнение упростилось до линейного относительно $x$. Теперь выразим $x$.

$$ 6ax + 2x = 3 $$

Вынесем $x$ за скобки:

$$ x(6a + 2) = 3 $$

Решение этого уравнения зависит от значения выражения $6a+2$.

1. Если $6a + 2 \neq 0$, то есть $a \neq -1/3$, мы можем разделить обе части уравнения на $6a+2$:

$$ x = \frac{3}{6a + 2} $$

Упростив знаменатель, получаем:

$$ x = \frac{3}{2(3a + 1)} $$

2. Если $6a + 2 = 0$, то есть $a = -1/3$, уравнение принимает вид:

$$ x \cdot 0 = 3 $$

$$ 0 = 3 $$

Это равенство является ложным, следовательно, при $a = -1/3$ уравнение не имеет решений.

Ответ: если $a = -1/3$, то решений нет; если $a \ne -1/3$, то $x = \frac{3}{2(3a+1)}$.