Номер 13, страница 34 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 13, страница 34.

Условие.

13. Решить уравнение

$\frac{(x+a)^2}{2} - \frac{(x-a)^2}{4} + \frac{x}{2} = \frac{a^2 + x^2 + 3}{4}$

Решение 3.

Решение 4.

Для решения данного уравнения с параметром $a$ выполним следующие шаги. Сначала избавимся от знаменателей, умножив все уравнение на наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 4, то есть на 4.

Исходное уравнение:

$$ \frac{(x+a)^2}{2} - \frac{(x-a)^2}{4} + \frac{x}{2} = \frac{a^2 + x^2 + 3}{4} $$

Умножаем обе части на 4:

$$ 4 \cdot \frac{(x+a)^2}{2} - 4 \cdot \frac{(x-a)^2}{4} + 4 \cdot \frac{x}{2} = 4 \cdot \frac{a^2 + x^2 + 3}{4} $$

После сокращения получаем:

$$ 2(x+a)^2 - (x-a)^2 + 2x = a^2 + x^2 + 3 $$

Теперь раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$$ 2(x^2 + 2ax + a^2) - (x^2 - 2ax + a^2) + 2x = a^2 + x^2 + 3 $$

Распределим множители и приведем подобные слагаемые:

$$ 2x^2 + 4ax + 2a^2 - x^2 + 2ax - a^2 + 2x = a^2 + x^2 + 3 $$

Сгруппируем и упростим левую часть:

$$ (2x^2 - x^2) + (4ax + 2ax) + (2a^2 - a^2) + 2x = a^2 + x^2 + 3 $$

$$ x^2 + 6ax + a^2 + 2x = a^2 + x^2 + 3 $$

Перенесем все члены с правой части в левую, чтобы собрать все слагаемые с одной стороны:

$$ x^2 + 6ax + a^2 + 2x - a^2 - x^2 - 3 = 0 $$

Приведем подобные слагаемые еще раз. Заметим, что члены с $x^2$ и $a^2$ взаимно уничтожаются:

$$ (x^2 - x^2) + (a^2 - a^2) + 6ax + 2x - 3 = 0 $$

$$ 6ax + 2x - 3 = 0 $$

Уравнение упростилось до линейного относительно $x$. Теперь выразим $x$.

$$ 6ax + 2x = 3 $$

Вынесем $x$ за скобки:

$$ x(6a + 2) = 3 $$

Решение этого уравнения зависит от значения выражения $6a+2$.

1. Если $6a + 2 \neq 0$, то есть $a \neq -1/3$, мы можем разделить обе части уравнения на $6a+2$:

$$ x = \frac{3}{6a + 2} $$

Упростив знаменатель, получаем:

$$ x = \frac{3}{2(3a + 1)} $$

2. Если $6a + 2 = 0$, то есть $a = -1/3$, уравнение принимает вид:

$$ x \cdot 0 = 3 $$

$$ 0 = 3 $$

Это равенство является ложным, следовательно, при $a = -1/3$ уравнение не имеет решений.

Ответ: если $a = -1/3$, то решений нет; если $a \ne -1/3$, то $x = \frac{3}{2(3a+1)}$.