Номер 5, страница 39 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 6. Положительные и отрицательные числа. Глава 2. Неравенства - номер 5, страница 39.

Условие.

5. Какими свойствами обладает сумма; произведение; частное рациональных чисел?

Решение 3.

Решение 4.

Рациональные числа (обозначаются как $Q$) — это числа, которые можно представить в виде дроби $m/n$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число. Рассмотрим свойства основных арифметических операций над ними.

сумма

Сложение рациональных чисел обладает следующими свойствами (для любых рациональных чисел $a, b, c$):

1. Замкнутость. Сумма двух рациональных чисел всегда является рациональным числом. Если $a \in Q$ и $b \in Q$, то $(a + b) \in Q$.

2. Коммутативность (переместительное свойство). От перемены мест слагаемых сумма не меняется: $a + b = b + a$.

3. Ассоциативность (сочетательное свойство). Порядок сложения трех и более чисел не влияет на результат: $(a + b) + c = a + (b + c)$.

4. Существование нейтрального элемента. Существует рациональное число 0 (ноль), прибавление которого не изменяет исходное число: $a + 0 = a$.

5. Существование противоположного элемента. Для каждого рационального числа $a$ существует противоположное ему число $-a$ (аддитивная инверсия), сумма которых равна нулю: $a + (-a) = 0$.

Ответ: Сумма рациональных чисел замкнута, коммутативна, ассоциативна, имеет нейтральный элемент (0) и для каждого элемента существует противоположный.

произведение

Умножение рациональных чисел обладает следующими свойствами (для любых рациональных чисел $a, b, c$):

1. Замкнутость. Произведение двух рациональных чисел всегда является рациональным числом. Если $a \in Q$ и $b \in Q$, то $(a \cdot b) \in Q$.

2. Коммутативность (переместительное свойство). От перемены мест множителей произведение не меняется: $a \cdot b = b \cdot a$.

3. Ассоциативность (сочетательное свойство). Порядок умножения трех и более чисел не влияет на результат: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.

4. Существование нейтрального элемента. Существует рациональное число 1 (единица), умножение на которое не изменяет исходное число: $a \cdot 1 = a$.

5. Существование обратного элемента. Для каждого ненулевого рационального числа $a$ существует обратное ему число $a^{-1}$ (или $1/a$), произведение которых равно единице: $a \cdot a^{-1} = 1$.

6. Дистрибутивность (распределительное свойство) умножения относительно сложения. Умножение суммы на число равно сумме произведений каждого слагаемого на это число: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.

Ответ: Произведение рациональных чисел замкнуто, коммутативно, ассоциативно, дистрибутивно относительно сложения, имеет нейтральный элемент (1) и для каждого ненулевого элемента существует обратный.

частное

Деление (нахождение частного) рациональных чисел не является самостоятельной операцией, а определяется через умножение на обратное число: $a \div b = a \cdot b^{-1}$, где $b \neq 0$. Из-за этого деление не обладает такими "хорошими" свойствами, как сложение и умножение.

1. Замкнутость. Множество рациональных чисел замкнуто относительно деления, за исключением деления на ноль. То есть, частное двух рациональных чисел всегда рационально, если делитель не равен нулю. Деление на ноль не определено.

2. Некоммутативность. Порядок делимого и делителя имеет значение, в общем случае $a \div b \neq b \div a$. Например, $6 \div 3 = 2$, но $3 \div 6 = 0.5$.

3. Неассоциативность. Порядок выполнения деления для трех и более чисел влияет на результат, в общем случае $(a \div b) \div c \neq a \div (b \div c)$. Например, $(12 \div 6) \div 2 = 2 \div 2 = 1$, но $12 \div (6 \div 2) = 12 \div 3 = 4$.

4. Нейтральный элемент. Существует только правый нейтральный элемент — единица: $a \div 1 = a$. Левого нейтрального элемента нет, так как $1 \div a \neq a$ (кроме $a=1$ и $a=-1$).

Ответ: Частное рациональных чисел (при делителе, не равном нулю) является рациональным числом. Однако операция деления не является ни коммутативной, ни ассоциативной.