Номер 8, страница 39 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 6. Положительные и отрицательные числа. Глава 2. Неравенства - номер 8, страница 39.

Условие.

8. Положительным или отрицательным числом будет результат возведения отрицательного числа в чётную степень; в нечётную степень?

Решение 3.

Решение 4.

в чётную степень:
При возведении отрицательного числа в чётную степень, мы умножаем это число само на себя чётное количество раз. Обозначим отрицательное число как $-a$, где $a$ - положительное число, а чётную степень как $n=2k$, где $k$ - натуральное число.
Выражение имеет вид $(-a)^n = (-a)^{2k}$.
Так как при умножении двух отрицательных чисел получается положительное число (например, $(-a) \times (-a) = a^2$), то мы можем сгруппировать все множители попарно. Поскольку количество множителей чётное, каждый множитель будет иметь пару.
$(-a)^{2k} = \underbrace{((-a) \times (-a)) \times \dots \times ((-a) \times (-a))}_{k \text{ пар}} = \underbrace{a^2 \times \dots \times a^2}_{k \text{ раз}} = (a^2)^k = a^{2k}$
Результатом каждой пары является положительное число, а произведение положительных чисел всегда положительно.
Например, $(-5)^4 = (-5) \times (-5) \times (-5) \times (-5) = 25 \times 25 = 625$.
Ответ: положительным.

в нечётную степень:
При возведении отрицательного числа в нечётную степень, мы умножаем это число само на себя нечётное количество раз. Обозначим отрицательное число как $-a$, где $a$ - положительное число, а нечётную степень как $m=2k+1$, где $k$ - неотрицательное целое число.
Выражение имеет вид $(-a)^m = (-a)^{2k+1}$.
Мы можем сгруппировать множители попарно, как в предыдущем случае, но из-за нечётного количества один множитель останется без пары.
$(-a)^{2k+1} = \underbrace{((-a) \times (-a)) \times \dots \times ((-a) \times (-a))}_{k \text{ пар}} \times (-a) = (a^2)^k \times (-a) = a^{2k} \times (-a)$
Произведение чётного числа отрицательных множителей ($a^{2k}$) является положительным числом. Когда это положительное число умножается на оставшийся отрицательный множитель ($-a$), результат становится отрицательным.
Например, $(-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = 4 \times (-2) = -8$.
Ответ: отрицательным.