Страница 39 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Какие числа называют рациональными?

Рациональными числами называют числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где числитель $p$ является целым числом ($p \in \mathbb{Z}$), а знаменатель $q$ — натуральным числом ($q \in \mathbb{N}$) или, в более общем определении, целым числом, не равным нулю ($q \in \mathbb{Z}, q \neq 0$).

Название происходит от латинского слова ratio, что означает «отношение», «деление», «дробь». Множество всех рациональных чисел принято обозначать символом $\mathbb{Q}$ (от слова quotient — «частное»).

К рациональным числам относятся следующие виды чисел:

1. Целые числа. Любое целое число (положительное, отрицательное или ноль) можно представить в виде дроби со знаменателем 1.
Например: $7 = \frac{7}{1}$; $-15 = \frac{-15}{1}$; $0 = \frac{0}{1}$. Таким образом, множество целых чисел ($\mathbb{Z}$) является частью (подмножеством) множества рациональных чисел ($\mathbb{Q}$).

2. Конечные десятичные дроби. Любую конечную десятичную дробь можно записать в виде обыкновенной дроби, где в знаменателе будет степень числа 10.
Например: $0.5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$; $3.45 = \frac{345}{100} = \frac{69}{20}$; $-0.12 = -\frac{12}{100} = -\frac{3}{25}$.

3. Бесконечные периодические десятичные дроби. Любая бесконечная дробь, в которой последовательность цифр после запятой повторяется (имеет период), также является рациональным числом.
Например: $0.333... = 0.(3) = \frac{1}{3}$; $0.818181... = 0.(81) = \frac{81}{99} = \frac{9}{11}$; $0.58333... = 0.58(3) = \frac{7}{12}$.

Таким образом, можно сказать, что рациональное число — это любое число, которое можно представить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.

Числа, которые нельзя представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, называются иррациональными. Они выражаются бесконечными непериодическими десятичными дробями (например, число $\pi \approx 3.14159...$ или корень $\sqrt{2} \approx 1.41421...$).

Ответ: Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число. К ним относятся все целые числа, конечные десятичные дроби и бесконечные периодические десятичные дроби.

2. В каком виде можно записать отрицательное рациональное число?

Рациональное число — это любое число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число (то есть целое положительное число).

Отрицательным рациональным числом называется рациональное число, которое меньше нуля. Чтобы дробь $\frac{p}{q}$ была отрицательной, её числитель $p$ и знаменатель $q$ должны иметь противоположные знаки.

Поскольку по общепринятому определению знаменатель $q$ дроби, представляющей рациональное число, является натуральным числом (то есть $q > 0$), то для того, чтобы число было отрицательным, его числитель $p$ должен быть отрицательным целым числом ($p < 0$).

Таким образом, отрицательное рациональное число можно записать в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — отрицательное целое число, а $q$ — натуральное число. Например: $\frac{-2}{3}$, $\frac{-10}{7}$, $\frac{-1}{100}$.

Эту же запись можно представить в другом, эквивалентном виде. Если $p$ — отрицательное целое, то его можно представить как $p = -m$, где $m$ — натуральное число. Тогда наша дробь примет вид:

$\frac{p}{q} = \frac{-m}{q} = -\frac{m}{n}$

В этой форме записи $m$ и $q$ (или $n$) являются натуральными числами, а знак "минус" выносится перед всей дробью. Например:

$\frac{-2}{3} = -\frac{2}{3}$

Хотя запись вида $\frac{2}{-3}$ также представляет отрицательное число, её принято приводить к стандартному виду, где знаменатель положителен: $\frac{2}{-3} = -\frac{2}{3}$.

Ответ: Отрицательное рациональное число можно записать в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — отрицательное целое число, а $q$ — натуральное число. Эквивалентная и часто используемая форма записи — это $-\frac{m}{n}$, где $m$ и $n$ — натуральные числа.

3. Что означает запись: $k > 0; p < 0$?

Записи $k > 0$ и $p < 0$ — это математические неравенства, которые используются для сравнения чисел. Они указывают, является ли значение переменной положительным или отрицательным.

k > 0

Эта запись представляет собой строгое неравенство. Знак «$>$» читается как «больше».

Неравенство $k > 0$ означает, что значение переменной $k$ строго больше нуля. Другими словами, переменная $k$ принимает любое положительное значение. Число 0 не входит в множество решений этого неравенства. На числовой прямой это соответствует открытому лучу, начинающемуся от точки 0 и идущему в сторону положительной бесконечности.

Примеры значений для $k$: $1$, $5$, $10.8$, $\frac{1}{2}$, $\pi$.

Ответ: Запись $k > 0$ означает, что $k$ — это положительное число.

p < 0

Эта запись также является строгим неравенством. Знак «$<$» читается как «меньше».

Неравенство $p < 0$ означает, что значение переменной $p$ строго меньше нуля. Другими словами, переменная $p$ принимает любое отрицательное значение. Число 0 не входит в множество решений этого неравенства. На числовой прямой это соответствует открытому лучу, начинающемуся от точки 0 и идущему в сторону отрицательной бесконечности.

Примеры значений для $p$: $-1$, $-15$, $-7.2$, $-\frac{3}{4}$, $-e$.

Ответ: Запись $p < 0$ означает, что $p$ — это отрицательное число.

4. Привести примеры неравенств одинакового знака; противоположных знаков.

неравенств одинакового знака

Два неравенства называются неравенствами одинакового знака, если они содержат одинаковые знаки неравенства ($<$ и $<$, или $>$ и $>$) или знаки одинаковой направленности ($<$ и $\le$, или $>$ и $\ge$). Это означает, что оба знака указывают на "меньше" (или "меньше или равно") либо оба указывают на "больше" (или "больше или равно").

Например, неравенства $a < b$ и $c < d$ являются неравенствами одинакового знака. Аналогично, $a > b$ и $c \ge d$ также являются неравенствами одинакового знака.

Примеры:

• Пара неравенств $5 > 2$ и $100 > 1$. Оба используют знак "больше" ($>$).

• Пара неравенств $x < 0$ и $y < -5$. Оба используют знак "меньше" ($<$).

• Пара неравенств $a \le 10$ и $b \le 20$. Оба используют знак "меньше или равно" ($\le$).

• Пара неравенств $15 \ge 10$ и $7 > 3$. Эти неравенства также одного знака, так как оба выражают отношение "больше".

Ответ: Примерами неравенств одинакового знака являются $8 > 3$ и $12 > 9$, а также $x \le 5$ и $y < 7$.

противоположных знаков

Два неравенства называются неравенствами противоположных знаков, если одно из них содержит знак "больше" ($>$ или $\ge$), а другое — знак "меньше" ($<$ или $\le$). То есть, знаки неравенств имеют противоположную направленность.

Например, неравенства $a > b$ и $c < d$ являются неравенствами противоположных знаков.

Примеры:

• Пара неравенств $7 > 1$ и $4 < 9$. Первое неравенство со знаком "больше" ($>$), второе — со знаком "меньше" ($<$).

• Пара неравенств $x \ge 0$ и $y < 10$. Первое использует знак "больше или равно" ($\ge$), а второе — "меньше" ($<$).

• Пара неравенств $-2 < 2$ и $5 > 0$. Знаки $<$ и $>$ являются противоположными.

• Пара неравенств $m \le 1$ и $n \ge 2$. Знаки $\le$ и $\ge$ являются противоположными.

Ответ: Примерами неравенств противоположных знаков являются $15 > 4$ и $6 < 11$, а также $k \le -1$ и $l \ge 1$.

5. Какими свойствами обладает сумма; произведение; частное рациональных чисел?

Рациональные числа (обозначаются как $Q$) — это числа, которые можно представить в виде дроби $m/n$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число. Рассмотрим свойства основных арифметических операций над ними.

сумма

Сложение рациональных чисел обладает следующими свойствами (для любых рациональных чисел $a, b, c$):

1. Замкнутость. Сумма двух рациональных чисел всегда является рациональным числом. Если $a \in Q$ и $b \in Q$, то $(a + b) \in Q$.

2. Коммутативность (переместительное свойство). От перемены мест слагаемых сумма не меняется: $a + b = b + a$.

3. Ассоциативность (сочетательное свойство). Порядок сложения трех и более чисел не влияет на результат: $(a + b) + c = a + (b + c)$.

4. Существование нейтрального элемента. Существует рациональное число 0 (ноль), прибавление которого не изменяет исходное число: $a + 0 = a$.

5. Существование противоположного элемента. Для каждого рационального числа $a$ существует противоположное ему число $-a$ (аддитивная инверсия), сумма которых равна нулю: $a + (-a) = 0$.

Ответ: Сумма рациональных чисел замкнута, коммутативна, ассоциативна, имеет нейтральный элемент (0) и для каждого элемента существует противоположный.

произведение

Умножение рациональных чисел обладает следующими свойствами (для любых рациональных чисел $a, b, c$):

1. Замкнутость. Произведение двух рациональных чисел всегда является рациональным числом. Если $a \in Q$ и $b \in Q$, то $(a \cdot b) \in Q$.

2. Коммутативность (переместительное свойство). От перемены мест множителей произведение не меняется: $a \cdot b = b \cdot a$.

3. Ассоциативность (сочетательное свойство). Порядок умножения трех и более чисел не влияет на результат: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.

4. Существование нейтрального элемента. Существует рациональное число 1 (единица), умножение на которое не изменяет исходное число: $a \cdot 1 = a$.

5. Существование обратного элемента. Для каждого ненулевого рационального числа $a$ существует обратное ему число $a^{-1}$ (или $1/a$), произведение которых равно единице: $a \cdot a^{-1} = 1$.

6. Дистрибутивность (распределительное свойство) умножения относительно сложения. Умножение суммы на число равно сумме произведений каждого слагаемого на это число: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.

Ответ: Произведение рациональных чисел замкнуто, коммутативно, ассоциативно, дистрибутивно относительно сложения, имеет нейтральный элемент (1) и для каждого ненулевого элемента существует обратный.

частное

Деление (нахождение частного) рациональных чисел не является самостоятельной операцией, а определяется через умножение на обратное число: $a \div b = a \cdot b^{-1}$, где $b \neq 0$. Из-за этого деление не обладает такими "хорошими" свойствами, как сложение и умножение.

1. Замкнутость. Множество рациональных чисел замкнуто относительно деления, за исключением деления на ноль. То есть, частное двух рациональных чисел всегда рационально, если делитель не равен нулю. Деление на ноль не определено.

2. Некоммутативность. Порядок делимого и делителя имеет значение, в общем случае $a \div b \neq b \div a$. Например, $6 \div 3 = 2$, но $3 \div 6 = 0.5$.

3. Неассоциативность. Порядок выполнения деления для трех и более чисел влияет на результат, в общем случае $(a \div b) \div c \neq a \div (b \div c)$. Например, $(12 \div 6) \div 2 = 2 \div 2 = 1$, но $12 \div (6 \div 2) = 12 \div 3 = 4$.

4. Нейтральный элемент. Существует только правый нейтральный элемент — единица: $a \div 1 = a$. Левого нейтрального элемента нет, так как $1 \div a \neq a$ (кроме $a=1$ и $a=-1$).

Ответ: Частное рациональных чисел (при делителе, не равном нулю) является рациональным числом. Однако операция деления не является ни коммутативной, ни ассоциативной.

6. В каком случае произведение двух чисел равно нулю?

Произведение двух чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это является одним из фундаментальных свойств операции умножения для действительных чисел.

Пусть у нас есть два числа, которые мы обозначим переменными $a$ и $b$. Их произведение записывается как $a \cdot b$. Условие, что это произведение равно нулю, можно записать в виде уравнения:

$a \cdot b = 0$

Это равенство будет верным в следующих случаях:

1. Если первое число равно нулю ($a = 0$), а второе ($b$) может быть любым числом. Например, $0 \cdot 15 = 0$.

2. Если второе число равно нулю ($b = 0$), а первое ($a$) может быть любым числом. Например, $-7 \cdot 0 = 0$.

3. Если оба числа равны нулю ($a = 0$ и $b = 0$). В этом случае $0 \cdot 0 = 0$.

Таким образом, все эти три ситуации можно обобщить одним правилом: для того чтобы произведение двух чисел равнялось нулю, необходимо и достаточно, чтобы как минимум одно из этих чисел было равно нулю. Если же ни одно из чисел не равно нулю, то и их произведение не будет равно нулю (например, $5 \cdot 4 = 20$).

Ответ: Произведение двух чисел равно нулю, если хотя бы одно из этих чисел равно нулю.

7. В каком случае частное двух чисел равно нулю?

Частное двух чисел равно нулю тогда и только тогда, когда делимое равно нулю, а делитель отличен от нуля.

Рассмотрим операцию деления двух чисел, которую можно записать в виде выражения $a : b$ или в виде дроби $ \frac{a}{b} $. Результатом этой операции является частное, обозначим его буквой $c$.

$c = a : b$ или $c = \frac{a}{b}$

Здесь:

• $a$ – это делимое (число, которое мы делим).
• $b$ – это делитель (число, на которое мы делим).
• $c$ – это частное (результат деления).

Вопрос состоит в том, при каких условиях частное $c$ будет равно нулю. Запишем это в виде уравнения:

$\frac{a}{b} = 0$

Это равенство может быть верным только в одном случае: если числитель дроби равен нулю. Следовательно, делимое $a$ должно быть равно нулю:

$a = 0$

Однако в математике существует фундаментальное правило: делить на ноль нельзя. Это означает, что знаменатель дроби, то есть делитель $b$, не может быть равен нулю.

$b \neq 0$

Таким образом, для того чтобы частное двух чисел было равно нулю, должны одновременно выполняться два условия:

1. Делимое должно быть равно нулю ($a=0$).
2. Делитель не должен быть равен нулю ($b \neq 0$).

Например, $0 : 5 = 0$. Здесь делимое равно 0, а делитель 5 не равен 0.

Выражение $0 : 0$ не равно нулю, оно является неопределенностью, так как нарушается второе условие (деление на ноль).

Ответ: Частное двух чисел равно нулю, если делимое равно нулю, а делитель не равен нулю.

8. Положительным или отрицательным числом будет результат возведения отрицательного числа в чётную степень; в нечётную степень?

в чётную степень:
При возведении отрицательного числа в чётную степень, мы умножаем это число само на себя чётное количество раз. Обозначим отрицательное число как $-a$, где $a$ - положительное число, а чётную степень как $n=2k$, где $k$ - натуральное число.
Выражение имеет вид $(-a)^n = (-a)^{2k}$.
Так как при умножении двух отрицательных чисел получается положительное число (например, $(-a) \times (-a) = a^2$), то мы можем сгруппировать все множители попарно. Поскольку количество множителей чётное, каждый множитель будет иметь пару.
$(-a)^{2k} = \underbrace{((-a) \times (-a)) \times \dots \times ((-a) \times (-a))}_{k \text{ пар}} = \underbrace{a^2 \times \dots \times a^2}_{k \text{ раз}} = (a^2)^k = a^{2k}$
Результатом каждой пары является положительное число, а произведение положительных чисел всегда положительно.
Например, $(-5)^4 = (-5) \times (-5) \times (-5) \times (-5) = 25 \times 25 = 625$.
Ответ: положительным.

в нечётную степень:
При возведении отрицательного числа в нечётную степень, мы умножаем это число само на себя нечётное количество раз. Обозначим отрицательное число как $-a$, где $a$ - положительное число, а нечётную степень как $m=2k+1$, где $k$ - неотрицательное целое число.
Выражение имеет вид $(-a)^m = (-a)^{2k+1}$.
Мы можем сгруппировать множители попарно, как в предыдущем случае, но из-за нечётного количества один множитель останется без пары.
$(-a)^{2k+1} = \underbrace{((-a) \times (-a)) \times \dots \times ((-a) \times (-a))}_{k \text{ пар}} \times (-a) = (a^2)^k \times (-a) = a^{2k} \times (-a)$
Произведение чётного числа отрицательных множителей ($a^{2k}$) является положительным числом. Когда это положительное число умножается на оставшийся отрицательный множитель ($-a$), результат становится отрицательным.
Например, $(-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = 4 \times (-2) = -8$.
Ответ: отрицательным.