Страница 33 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Найти допустимые значения букв, входящих в дробь:

$\frac{a}{b}$; $\frac{3}{a-1}$; $\frac{a}{b+2}$.

Чтобы найти допустимые значения букв (переменных), входящих в дробь, необходимо учесть, что знаменатель дроби не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя. Для каждой дроби нужно составить и решить соответствующее неравенство.

$\frac{a}{b}$

В данной дроби числитель равен $a$, а знаменатель равен $b$. Основное условие существования дроби — знаменатель не равен нулю. Следовательно, $b \neq 0$. Переменная $a$, находящаяся в числителе, может принимать абсолютно любые значения.

Ответ: $a$ - любое число, $b \neq 0$.

$\frac{3}{a-1}$

В этой дроби знаменатель представляет собой выражение $a-1$. Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти недопустимое значение для переменной $a$: $a - 1 = 0$ $a = 1$ Таким образом, значение $a=1$ является недопустимым, так как оно обращает знаменатель в ноль. Все остальные значения для $a$ допустимы.

Ответ: $a \neq 1$.

$\frac{a}{b+2}$

Знаменателем этой дроби является выражение $b+2$. Условие допустимых значений записывается как $b+2 \neq 0$. Решим это неравенство: $b \neq -2$ Значит, переменная $b$ может быть любым числом, кроме $-2$. Переменная $a$ в числителе может принимать любые значения.

Ответ: $a$ - любое число, $b \neq -2$.

2. Выполнить действия:

а) $4a + \frac{1-4a^2}{a}$;

б) $\frac{a+b}{a-b} - \frac{a-b}{a+b}$;

в) $\frac{2a-4}{3b} \cdot \frac{6b}{a-2}$;

г) $\frac{a^2-b^2}{b^2} : \frac{a+b}{b}$.

а) $4a + \frac{1 - 4a^2}{a}$
Чтобы сложить эти выражения, приведем их к общему знаменателю $a$. Для этого представим первое слагаемое $4a$ в виде дроби со знаменателем $a$: $4a = \frac{4a \cdot a}{a} = \frac{4a^2}{a}$.
Теперь выполним сложение дробей:
$\frac{4a^2}{a} + \frac{1 - 4a^2}{a} = \frac{4a^2 + (1 - 4a^2)}{a}$
Раскроем скобки и упростим числитель: $4a^2 + 1 - 4a^2 = 1$.
В результате получаем: $\frac{1}{a}$.
Ответ: $\frac{1}{a}$

б) $\frac{a + b}{a - b} - \frac{a - b}{a + b}$
Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель равен произведению знаменателей: $(a - b)(a + b)$, что по формуле разности квадратов равно $a^2 - b^2$.
Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $(a + b)$, а второй — на $(a - b)$:
$\frac{(a + b)(a + b)}{(a - b)(a + b)} - \frac{(a - b)(a - b)}{(a + b)(a - b)} = \frac{(a + b)^2 - (a - b)^2}{a^2 - b^2}$
Раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности: $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$ и $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$.
$\frac{(a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)}{a^2 - b^2}$
Раскроем вторые скобки, поменяв знаки, и сократим подобные слагаемые в числителе:
$\frac{a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2}{a^2 - b^2} = \frac{4ab}{a^2 - b^2}$
Ответ: $\frac{4ab}{a^2 - b^2}$

в) $\frac{2a - 4}{3b} \cdot \frac{6b}{a - 2}$
При умножении дробей перемножаются их числители и знаменатели. Перед умножением упростим выражения.
Вынесем общий множитель 2 в числителе первой дроби: $2a - 4 = 2(a - 2)$.
Выражение примет вид:
$\frac{2(a - 2)}{3b} \cdot \frac{6b}{a - 2}$
Запишем все под одной чертой дроби и выполним сокращение:
$\frac{2(a - 2) \cdot 6b}{3b \cdot (a - 2)}$
Сокращаем на общий множитель $(a - 2)$ (при $a \neq 2$), на $b$ (при $b \neq 0$) и на 3:
$\frac{2 \cdot \cancel{(a - 2)} \cdot 2 \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{b}}{\cancel{3} \cdot \cancel{b} \cdot \cancel{(a - 2)}} = 2 \cdot 2 = 4$
Ответ: $4$

г) $\frac{a^2 - b^2}{b^2} : \frac{a + b}{b}$
Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:
$\frac{a^2 - b^2}{b^2} \cdot \frac{b}{a + b}$
Разложим числитель первой дроби по формуле разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
$\frac{(a - b)(a + b)}{b^2} \cdot \frac{b}{a + b}$
Запишем все под одной чертой дроби:
$\frac{(a - b)(a + b) \cdot b}{b^2 \cdot (a + b)}$
Сократим общие множители $(a + b)$ (при $a+b \neq 0$) и $b$ (при $b \neq 0$) в числителе и знаменателе:
$\frac{(a - b) \cdot \cancel{(a + b)} \cdot \cancel{b}}{b \cdot \cancel{b} \cdot \cancel{(a + b)}} = \frac{a - b}{b}$
Ответ: $\frac{a - b}{b}$

3. Упростить выражение $ \frac{1+2x}{x-3} - \frac{x^2+3x}{5} \cdot \frac{10}{x^2-9} $ и найти его числовое значение при $ x = 2\frac{2}{3} $.

Упростить выражение

Рассмотрим выражение: $\frac{1+2x}{x-3} - \frac{x^2+3x}{5} \cdot \frac{10}{x^2-9}$.
Согласно порядку действий, сначала выполним умножение дробей: $\frac{x^2+3x}{5} \cdot \frac{10}{x^2-9}$.
Для этого разложим на множители числитель $x^2+3x$ и знаменатель $x^2-9$.
$x^2+3x = x(x+3)$
$x^2-9 = (x-3)(x+3)$ (по формуле разности квадратов).
Подставим разложенные многочлены в произведение и выполним сокращение:
$\frac{x(x+3)}{5} \cdot \frac{10}{(x-3)(x+3)} = \frac{x \cdot \cancel{(x+3)}}{\cancel{5}_1} \cdot \frac{\cancel{10}^2}{(x-3)\cancel{(x+3)}} = \frac{2x}{x-3}$.
Теперь вернемся к исходному выражению и подставим результат умножения:
$\frac{1+2x}{x-3} - \frac{2x}{x-3}$.
Дроби имеют одинаковый знаменатель, поэтому выполним вычитание их числителей:
$\frac{(1+2x) - 2x}{x-3} = \frac{1+2x-2x}{x-3} = \frac{1}{x-3}$.
Ответ: $\frac{1}{x-3}$.

Найти его числовое значение при $x=2\frac{2}{3}$

Подставим значение $x=2\frac{2}{3}$ в упрощенное выражение $\frac{1}{x-3}$.
Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$x = 2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$.
Теперь подставим это значение в выражение:
$\frac{1}{x-3} = \frac{1}{\frac{8}{3}-3}$.
Выполним вычитание в знаменателе, приведя числа к общему знаменателю:
$\frac{8}{3}-3 = \frac{8}{3} - \frac{9}{3} = \frac{8-9}{3} = -\frac{1}{3}$.
Таким образом, получаем:
$\frac{1}{-\frac{1}{3}} = 1 \div (-\frac{1}{3}) = 1 \cdot (-3) = -3$.
Ответ: -3.

$ \frac{a-4}{a+4} $, $ \frac{2b}{b^2+1} $; $ \frac{7}{c(c-2)} $.

$\frac{a-4}{a+4}$

Допустимые значения переменной, или область определения выражения, — это все значения, при которых алгебраическая дробь имеет смысл. Дробь имеет смысл, когда её знаменатель не равен нулю. В данном случае знаменатель равен $a+4$.
Найдем значение $a$, при котором знаменатель обращается в ноль, и исключим его:
$a + 4 = 0$
$a = -4$
Таким образом, при $a = -4$ дробь не определена. Следовательно, переменная $a$ может принимать любые значения, кроме $-4$.

Ответ: $a \ne -4$.

$\frac{2b}{b^2+1}$

Знаменатель данной дроби равен $b^2+1$. Необходимо проверить, существуют ли значения $b$, при которых знаменатель равен нулю.
Выражение $b^2$ представляет собой квадрат действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно, то есть $b^2 \ge 0$ для любого $b$.
Следовательно, знаменатель $b^2+1$ всегда будет больше или равен $0+1=1$:
$b^2+1 \ge 1$
Так как знаменатель никогда не может быть равен нулю, дробь определена при любых значениях переменной $b$.

Ответ: $b$ — любое число.

$\frac{7}{c(c-2)}$

Знаменатель дроби $c(c-2)$ не должен быть равен нулю. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Найдем значения $c$, при которых знаменатель обращается в ноль:
$c(c-2) = 0$
Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:
1) $c = 0$
2) $c - 2 = 0$, откуда $c = 2$
Таким образом, при $c = 0$ и $c = 2$ дробь не определена. Следовательно, переменная $c$ может принимать любые значения, кроме $0$ и $2$.

Ответ: $c \ne 0$ и $c \ne 2$.

$\frac{9x^2 - 4y^2}{20y^2 - 60xy + 45x^2}$ и найти её значение при $x=\frac{2}{3}$, $y=0,75$.

Для решения задачи сначала сократим данную дробь, а затем подставим в упрощенное выражение значения переменных.

1. Сокращение дроби

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель $9x^2 - 4y^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$9x^2 - 4y^2 = (3x)^2 - (2y)^2 = (3x - 2y)(3x + 2y)$

В знаменателе $20y^2 - 60xy + 45x^2$ сначала переставим слагаемые для удобства, затем вынесем общий множитель за скобки и применим формулу квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$:

$20y^2 - 60xy + 45x^2 = 45x^2 - 60xy + 20y^2$

Вынесем общий множитель 5:

$5(9x^2 - 12xy + 4y^2)$

Теперь свернем выражение в скобках как полный квадрат:

$5((3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2y + (2y)^2) = 5(3x - 2y)^2$

Теперь, когда числитель и знаменатель разложены на множители, мы можем сократить дробь:

$\frac{9x^2 - 4y^2}{20y^2 - 60xy + 45x^2} = \frac{(3x - 2y)(3x + 2y)}{5(3x - 2y)^2} = \frac{3x + 2y}{5(3x - 2y)}$

Сокращение возможно при условии, что $3x - 2y \neq 0$.

2. Нахождение значения выражения

Теперь найдем значение полученного выражения при $x = \frac{2}{3}$ и $y = 0,75$.

Переведем десятичную дробь $0,75$ в обыкновенную для удобства вычислений: $y = 0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$.

Проверим условие $3x - 2y \neq 0$:

$3 \cdot \frac{2}{3} - 2 \cdot \frac{3}{4} = 2 - \frac{3}{2} = \frac{4}{2} - \frac{3}{2} = \frac{1}{2} \neq 0$. Условие выполняется.

Подставим значения $x$ и $y$ в упрощенную дробь:

$\frac{3x + 2y}{5(3x - 2y)} = \frac{3 \cdot \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{4}}{5(3 \cdot \frac{2}{3} - 2 \cdot \frac{3}{4})}$

Вычислим значение числителя:

$3 \cdot \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{4} = 2 + \frac{6}{4} = 2 + \frac{3}{2} = \frac{4}{2} + \frac{3}{2} = \frac{7}{2}$

Вычислим значение знаменателя:

$5(3 \cdot \frac{2}{3} - 2 \cdot \frac{3}{4}) = 5(2 - \frac{3}{2}) = 5(\frac{4}{2} - \frac{3}{2}) = 5 \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$

Найдем конечное значение дроби:

$\frac{\frac{7}{2}}{\frac{5}{2}} = \frac{7}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{7}{5} = 1,4$

Ответ: $1,4$.