Номер 5, страница 33 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 5, страница 33.

Условие.

5. Сократить дробь

$\frac{9x^2 - 4y^2}{20y^2 - 60xy + 45x^2}$ и найти её значение при $x=\frac{2}{3}$, $y=0,75$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи сначала сократим данную дробь, а затем подставим в упрощенное выражение значения переменных.

1. Сокращение дроби

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель $9x^2 - 4y^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$9x^2 - 4y^2 = (3x)^2 - (2y)^2 = (3x - 2y)(3x + 2y)$

В знаменателе $20y^2 - 60xy + 45x^2$ сначала переставим слагаемые для удобства, затем вынесем общий множитель за скобки и применим формулу квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$:

$20y^2 - 60xy + 45x^2 = 45x^2 - 60xy + 20y^2$

Вынесем общий множитель 5:

$5(9x^2 - 12xy + 4y^2)$

Теперь свернем выражение в скобках как полный квадрат:

$5((3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2y + (2y)^2) = 5(3x - 2y)^2$

Теперь, когда числитель и знаменатель разложены на множители, мы можем сократить дробь:

$\frac{9x^2 - 4y^2}{20y^2 - 60xy + 45x^2} = \frac{(3x - 2y)(3x + 2y)}{5(3x - 2y)^2} = \frac{3x + 2y}{5(3x - 2y)}$

Сокращение возможно при условии, что $3x - 2y \neq 0$.

2. Нахождение значения выражения

Теперь найдем значение полученного выражения при $x = \frac{2}{3}$ и $y = 0,75$.

Переведем десятичную дробь $0,75$ в обыкновенную для удобства вычислений: $y = 0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$.

Проверим условие $3x - 2y \neq 0$:

$3 \cdot \frac{2}{3} - 2 \cdot \frac{3}{4} = 2 - \frac{3}{2} = \frac{4}{2} - \frac{3}{2} = \frac{1}{2} \neq 0$. Условие выполняется.

Подставим значения $x$ и $y$ в упрощенную дробь:

$\frac{3x + 2y}{5(3x - 2y)} = \frac{3 \cdot \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{4}}{5(3 \cdot \frac{2}{3} - 2 \cdot \frac{3}{4})}$

Вычислим значение числителя:

$3 \cdot \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{4} = 2 + \frac{6}{4} = 2 + \frac{3}{2} = \frac{4}{2} + \frac{3}{2} = \frac{7}{2}$

Вычислим значение знаменателя:

$5(3 \cdot \frac{2}{3} - 2 \cdot \frac{3}{4}) = 5(2 - \frac{3}{2}) = 5(\frac{4}{2} - \frac{3}{2}) = 5 \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$

Найдем конечное значение дроби:

$\frac{\frac{7}{2}}{\frac{5}{2}} = \frac{7}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{7}{5} = 1,4$

Ответ: $1,4$.