Номер 6, страница 34 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 6, страница 34.

Условие.

6. Доказать, что сумма дробей $ \frac{2-a}{a+2} $, $ \frac{2a}{2-a} $ и $ \frac{4a^2}{a^2-4} $ равна 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Чтобы доказать, что сумма дробей равна 1, необходимо выполнить их сложение, предварительно приведя их к общему знаменателю.

Запишем сумму:

$\frac{2-a}{a+2} + \frac{2a}{2-a} + \frac{4a^2}{a^2-4}$

Для начала преобразуем знаменатели. Знаменатель третьей дроби, $a^2-4$, является разностью квадратов и может быть разложен на множители: $a^2-4 = (a-2)(a+2)$.

Знаменатель второй дроби, $2-a$, можно представить как $-(a-2)$. Это позволит нам привести все дроби к общему знаменателю $(a-2)(a+2)$.

Перепишем исходное выражение с учетом преобразований:

$\frac{2-a}{a+2} + \frac{2a}{-(a-2)} + \frac{4a^2}{(a-2)(a+2)} = \frac{2-a}{a+2} - \frac{2a}{a-2} + \frac{4a^2}{(a-2)(a+2)}$

Теперь приведем дроби к общему знаменателю $(a-2)(a+2)$. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на $(a-2)$, а второй дроби — на $(a+2)$.

$\frac{(2-a)(a-2)}{(a+2)(a-2)} - \frac{2a(a+2)}{(a-2)(a+2)} + \frac{4a^2}{(a-2)(a+2)}$

Запишем все под общей дробной чертой и раскроем скобки в числителе. Обратим внимание, что $(2-a)(a-2) = -(a-2)^2 = -(a^2-4a+4) = -a^2+4a-4$.

$\frac{(-a^2+4a-4) - (2a^2+4a) + 4a^2}{(a-2)(a+2)} = \frac{-a^2+4a-4 - 2a^2-4a + 4a^2}{(a-2)(a+2)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(-a^2 - 2a^2 + 4a^2) + (4a - 4a) - 4}{(a-2)(a+2)} = \frac{a^2 - 4}{(a-2)(a+2)}$

Так как знаменатель $(a-2)(a+2)$ равен $a^2-4$, мы получаем:

$\frac{a^2-4}{a^2-4} = 1$

Равенство выполняется для всех допустимых значений переменной $a$ (то есть при $a \ne 2$ и $a \ne -2$).

Ответ: Сумма дробей равна 1, что и требовалось доказать.