Номер 7, страница 34 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 7, страница 34.

Условие.

7. Упростить выражение

$ \left( x + 3 + \frac{18}{x - 3} \right) \cdot \frac{2x^2 - 12x + 18}{x^2 + 9} $.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку. Сначала преобразуем выражение в скобках, приведя его к общему знаменателю.

1. Упрощение выражения в скобках:

Приведем слагаемые $x$ и $3$ к общему знаменателю $(x-3)$:
$x + 3 + \frac{18}{x-3} = \frac{x(x-3)}{x-3} + \frac{3(x-3)}{x-3} + \frac{18}{x-3}$

Объединим дроби в одну:
$\frac{x(x-3) + 3(x-3) + 18}{x-3} = \frac{x^2 - 3x + 3x - 9 + 18}{x-3} = \frac{x^2 + 9}{x-3}$

Также можно было сгруппировать первые два слагаемых и применить формулу разности квадратов:
$(x+3) + \frac{18}{x-3} = \frac{(x+3)(x-3)}{x-3} + \frac{18}{x-3} = \frac{x^2 - 9 + 18}{x-3} = \frac{x^2 + 9}{x-3}$

2. Упрощение второй дроби:

Рассмотрим числитель дроби $2x^2 - 12x + 18$. Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$2x^2 - 12x + 18 = 2(x^2 - 6x + 9)$

Выражение в скобках $x^2 - 6x + 9$ является полным квадратом разности $(x-3)^2$.
Таким образом, вторая дробь равна:
$\frac{2(x-3)^2}{x^2 + 9}$

3. Умножение и сокращение:

Теперь перемножим результаты, полученные в шагах 1 и 2:
$(\frac{x^2 + 9}{x-3}) \cdot \frac{2(x-3)^2}{x^2 + 9}$

Запишем все под одной дробной чертой и произведем сокращение. Область допустимых значений выражения определяется условиями $x-3 \neq 0$ и $x^2+9 \neq 0$. Второе условие выполняется всегда для действительных $x$, а первое дает $x \neq 3$.
$\frac{(x^2 + 9) \cdot 2(x-3)^2}{(x-3) \cdot (x^2 + 9)} = \frac{\cancel{(x^2 + 9)} \cdot 2(x-3)^{\cancel{2}}}{\cancel{(x-3)} \cdot \cancel{(x^2 + 9)}} = 2(x-3)$

Ответ: $2(x-3)$.