Номер 12, страница 34 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 12, страница 34.

Условие.

12. Найти значение выражения

$\frac{3m^{3n}}{m^{3n} + n^{3n}} \cdot \frac{m^n + n^n}{m^n} - \frac{3m^{2n}}{m^{2n} - m^n n^n + n^{2n}}$

Решение 3.

Решение 4.

Для решения данной задачи упростим заданное алгебраическое выражение. Чтобы сделать выражение более наглядным, введем замену переменных.

Пусть $x = m^n$ и $y = n^n$.

Тогда исходное выражение можно переписать в следующем виде, подставив $x$ и $y$:

$m^{2n} = (m^n)^2 = x^2$

$n^{2n} = (n^n)^2 = y^2$

$m^{3n} = (m^n)^3 = x^3$

$n^{3n} = (n^n)^3 = y^3$

Исходное выражение принимает вид:

$$ \frac{3x^3}{x^3 + y^3} \cdot \frac{x + y}{x} - \frac{3x^2}{x^2 - xy + y^2} $$

Теперь упростим первое слагаемое. Для этого воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.

Подставим разложение в знаменатель первой дроби:

$$ \frac{3x^3}{(x+y)(x^2 - xy + y^2)} \cdot \frac{x + y}{x} $$

Сократим общие множители. Множитель $(x+y)$ присутствует в числителе второй дроби и в знаменателе первой, поэтому они сокращаются. Также сократим $x$ в числителе первой дроби и знаменателе второй:

$$ \frac{3x^{3-1}}{x^2 - xy + y^2} = \frac{3x^2}{x^2 - xy + y^2} $$

Теперь подставим полученное упрощенное выражение обратно в исходное уравнение:

$$ \frac{3x^2}{x^2 - xy + y^2} - \frac{3x^2}{x^2 - xy + y^2} $$

Мы получили разность двух одинаковых дробей. Результат такого вычитания равен нулю.

$$ \frac{3x^2}{x^2 - xy + y^2} - \frac{3x^2}{x^2 - xy + y^2} = 0 $$

Таким образом, значение исходного выражения не зависит от значений $m$ и $n$ и всегда равно 0.

Ответ: $0$