Номер 9, страница 34 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 9, страница 34.

Условие.

9. Найти допустимые значения букв, входящих в дробь:

а) $\frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2}$;

б) $\frac{1 - b}{|b|}$;

в) $\frac{9}{a^2 - 9}$.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Допустимые значения переменных в дроби — это те значения, при которых знаменатель дроби не равен нулю. В дроби $\frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2}$ знаменатель равен $a^2 + b^2$.

Найдем значения $a$ и $b$, при которых знаменатель обращается в ноль: $a^2 + b^2 = 0$.

Поскольку $a^2 \geq 0$ и $b^2 \geq 0$ для любых действительных чисел $a$ и $b$, их сумма $a^2 + b^2$ может быть равна нулю только в том случае, если оба слагаемых одновременно равны нулю:

$a^2 = 0$ и $b^2 = 0$.

Это означает, что $a = 0$ и $b = 0$.

Таким образом, знаменатель дроби равен нулю только тогда, когда $a$ и $b$ равны нулю одновременно. Следовательно, для того чтобы дробь имела смысл, необходимо, чтобы значения $a$ и $b$ не были равны нулю одновременно.

Ответ: $a$ и $b$ — любые числа, за исключением случая, когда $a=0$ и $b=0$ одновременно.

б)

В дроби $\frac{1 - b}{|b|}$ знаменатель равен $|b|$.

Найдем значение $b$, при котором знаменатель обращается в ноль: $|b| = 0$.

Модуль числа равен нулю тогда и только тогда, когда само число равно нулю. Следовательно, $b = 0$.

Таким образом, дробь имеет смысл при всех значениях $b$, кроме $b=0$.

Ответ: $b$ — любое число, кроме $b=0$.

в)

В дроби $\frac{9}{a^2 - 9}$ знаменатель равен $a^2 - 9$.

Найдем значения $a$, при которых знаменатель обращается в ноль: $a^2 - 9 = 0$.

Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$(a - 3)(a + 3) = 0$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$a - 3 = 0$ или $a + 3 = 0$.

Из первого уравнения получаем $a = 3$, из второго $a = -3$.

Таким образом, знаменатель дроби равен нулю при $a = 3$ и $a = -3$. Следовательно, допустимыми являются все значения $a$, кроме $3$ и $-3$.

Ответ: $a$ — любое число, кроме $a=3$ и $a=-3$.