Номер 8, страница 34 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 8, страница 34.

Условие.

8. Решить уравнение

$\frac{(x-3)^2}{12} - \frac{2x^2+5}{4} + \frac{1.25x^2-1}{3} = \frac{2}{3}$

Решение 3.

Решение 4.

Для решения данного уравнения первым шагом избавимся от дробей. Для этого умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 12, 4 и 3. НОК(12, 4, 3) = 12.

Исходное уравнение:

$$ \frac{(x-3)^2}{12} - \frac{2x^2+5}{4} + \frac{1.25x^2-1}{3} = \frac{2}{3} $$

Умножаем каждый член уравнения на 12:

$$ 12 \cdot \frac{(x-3)^2}{12} - 12 \cdot \frac{2x^2+5}{4} + 12 \cdot \frac{1.25x^2-1}{3} = 12 \cdot \frac{2}{3} $$

После сокращения дробей получаем:

$$ 1 \cdot (x-3)^2 - 3 \cdot (2x^2+5) + 4 \cdot (1.25x^2-1) = 4 \cdot 2 $$

$$ (x-3)^2 - 3(2x^2+5) + 4(1.25x^2-1) = 8 $$

Теперь раскроем скобки. Для первого слагаемого используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Остальные скобки раскрываем с помощью распределительного закона умножения.

$$ (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - (3 \cdot 2x^2 + 3 \cdot 5) + (4 \cdot 1.25x^2 - 4 \cdot 1) = 8 $$

$$ (x^2 - 6x + 9) - (6x^2 + 15) + (5x^2 - 4) = 8 $$

Уберем скобки, обращая внимание на знаки перед ними:

$$ x^2 - 6x + 9 - 6x^2 - 15 + 5x^2 - 4 = 8 $$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: члены с $x^2$, члены с $x$ и свободные члены.

$$ (x^2 - 6x^2 + 5x^2) - 6x + (9 - 15 - 4) = 8 $$

Выполним вычисления в скобках:

$$ (1 - 6 + 5)x^2 - 6x + (-10) = 8 $$

$$ 0 \cdot x^2 - 6x - 10 = 8 $$

Слагаемые, содержащие $x^2$, взаимно уничтожились ($0 \cdot x^2 = 0$), и уравнение стало линейным:

$$ -6x - 10 = 8 $$

Перенесем -10 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$$ -6x = 8 + 10 $$

$$ -6x = 18 $$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на -6:

$$ x = \frac{18}{-6} $$

$$ x = -3 $$

Ответ: $x = -3$.