Номер 11, страница 34 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 11, страница 34.

Условие.

11. Доказать, что значение выражения

$ \frac{x-3}{x^2-10x+25} - \frac{3-4x}{10x-25-x^2} + \frac{4x-5}{(5-x)^2} $

не может быть равно 0 ни при каких допустимых значениях x.

Решение 3.

Решение 4.

Для доказательства утверждения, сперва упростим данное алгебраическое выражение. Рассмотрим знаменатели каждой дроби.

1. Знаменатель первой дроби: $x^2 - 10x + 25$. Это полный квадрат разности: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = (x-5)^2$.

2. Знаменатель второй дроби: $10x - 25 - x^2$. Вынесем знак минус за скобки: $-(x^2 - 10x + 25) = -(x-5)^2$.

3. Знаменатель третьей дроби: $(5-x)^2$. Так как $(a-b)^2 = (b-a)^2$, то $(5-x)^2 = (x-5)^2$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатели не равны нулю. Во всех трех случаях это приводит к одному и тому же условию: $(x-5)^2 \neq 0$, что означает $x-5 \neq 0$, следовательно, $x \neq 5$.

Теперь перепишем исходное выражение, используя преобразованные знаменатели:

$\frac{x-3}{(x-5)^2} - \frac{3-4x}{-(x-5)^2} + \frac{4x-5}{(x-5)^2}$

Упростим второй член выражения. Знак минус в знаменателе можно перенести перед дробью:

$\frac{x-3}{(x-5)^2} - (-\frac{3-4x}{(x-5)^2}) + \frac{4x-5}{(x-5)^2} = \frac{x-3}{(x-5)^2} + \frac{3-4x}{(x-5)^2} + \frac{4x-5}{(x-5)^2}$

Теперь все дроби имеют общий знаменатель $(x-5)^2$. Сложим их числители:

$\frac{(x-3) + (3-4x) + (4x-5)}{(x-5)^2}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{x - 3 + 3 - 4x + 4x - 5}{(x-5)^2} = \frac{x - 5}{(x-5)^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(x-5)$, что допустимо, так как в ОДЗ $x \neq 5$:

$\frac{1}{x-5}$

Таким образом, исходное выражение для всех допустимых значений $x$ равно $\frac{1}{x-5}$.

Чтобы значение выражения было равно нулю, необходимо, чтобы числитель дроби был равен нулю. В нашем случае числитель равен 1. Так как $1 \neq 0$, то и значение выражения $\frac{1}{x-5}$ никогда не может быть равно нулю.

Следовательно, исходное выражение не может быть равно 0 ни при каких допустимых значениях $x$.

Ответ: Исходное выражение было упрощено до вида $\frac{1}{x-5}$ при условии $x \neq 5$. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. В данном случае числитель равен 1, что не равно нулю. Поэтому значение выражения не может быть равно 0 ни при каких допустимых значениях $x$. Что и требовалось доказать.