Номер 3, страница 33 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 3, страница 33.

Условие.

3. Упростить выражение $ \frac{1+2x}{x-3} - \frac{x^2+3x}{5} \cdot \frac{10}{x^2-9} $ и найти его числовое значение при $ x = 2\frac{2}{3} $.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Упростить выражение

Рассмотрим выражение: $\frac{1+2x}{x-3} - \frac{x^2+3x}{5} \cdot \frac{10}{x^2-9}$.
Согласно порядку действий, сначала выполним умножение дробей: $\frac{x^2+3x}{5} \cdot \frac{10}{x^2-9}$.
Для этого разложим на множители числитель $x^2+3x$ и знаменатель $x^2-9$.
$x^2+3x = x(x+3)$
$x^2-9 = (x-3)(x+3)$ (по формуле разности квадратов).
Подставим разложенные многочлены в произведение и выполним сокращение:
$\frac{x(x+3)}{5} \cdot \frac{10}{(x-3)(x+3)} = \frac{x \cdot \cancel{(x+3)}}{\cancel{5}_1} \cdot \frac{\cancel{10}^2}{(x-3)\cancel{(x+3)}} = \frac{2x}{x-3}$.
Теперь вернемся к исходному выражению и подставим результат умножения:
$\frac{1+2x}{x-3} - \frac{2x}{x-3}$.
Дроби имеют одинаковый знаменатель, поэтому выполним вычитание их числителей:
$\frac{(1+2x) - 2x}{x-3} = \frac{1+2x-2x}{x-3} = \frac{1}{x-3}$.
Ответ: $\frac{1}{x-3}$.

Найти его числовое значение при $x=2\frac{2}{3}$

Подставим значение $x=2\frac{2}{3}$ в упрощенное выражение $\frac{1}{x-3}$.
Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$x = 2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$.
Теперь подставим это значение в выражение:
$\frac{1}{x-3} = \frac{1}{\frac{8}{3}-3}$.
Выполним вычитание в знаменателе, приведя числа к общему знаменателю:
$\frac{8}{3}-3 = \frac{8}{3} - \frac{9}{3} = \frac{8-9}{3} = -\frac{1}{3}$.
Таким образом, получаем:
$\frac{1}{-\frac{1}{3}} = 1 \div (-\frac{1}{3}) = 1 \cdot (-3) = -3$.
Ответ: -3.