Номер 5, страница 32 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Практические и прикладные задачи. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 5, страница 32.

Условие.

5. Сопротивление $R$ участка цепи, состоящего из трёх параллельно соединённых проводников с сопротивлениями $R_1$, $R_2$ и $R_3$, находится из формулы $\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}$. Выразить из формулы:

1) $R$ через $R_1$, $R_2$ и $R_3$;

2) $R_3$ через $R$, $R_1$ и $R_2$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) R через R₁, R₂ и R₃;

Исходная формула связывает общее сопротивление $R$ с сопротивлениями $R_1$, $R_2$ и $R_3$ при их параллельном соединении:

$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$

Чтобы выразить $R$, сначала необходимо сложить дроби в правой части уравнения. Для этого приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для $R_1$, $R_2$ и $R_3$ равен их произведению: $R_1 R_2 R_3$.

$\frac{1}{R} = \frac{R_2 R_3}{R_1 R_2 R_3} + \frac{R_1 R_3}{R_1 R_2 R_3} + \frac{R_1 R_2}{R_1 R_2 R_3}$

Теперь сложим числители этих дробей:

$\frac{1}{R} = \frac{R_2 R_3 + R_1 R_3 + R_1 R_2}{R_1 R_2 R_3}$

Для того чтобы найти $R$, а не $\frac{1}{R}$, нужно "перевернуть" обе части уравнения (то есть найти обратную величину):

$R = \frac{R_1 R_2 R_3}{R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_2 R_3}$

Ответ: $R = \frac{R_1 R_2 R_3}{R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_2 R_3}$

2) R₃ через R, R₁ и R₂.

Снова используем исходную формулу:

$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$

Чтобы выразить $R_3$, сначала изолируем слагаемое $\frac{1}{R_3}$ в одной части уравнения. Для этого перенесем слагаемые $\frac{1}{R_1}$ и $\frac{1}{R_2}$ в левую часть уравнения, изменив их знаки:

$\frac{1}{R_3} = \frac{1}{R} - \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}$

Теперь приведем дроби в правой части к общему знаменателю. Общий знаменатель для $R$, $R_1$ и $R_2$ равен их произведению: $R R_1 R_2$.

$\frac{1}{R_3} = \frac{R_1 R_2}{R R_1 R_2} - \frac{R R_2}{R R_1 R_2} - \frac{R R_1}{R R_1 R_2}$

Объединим дроби в правой части, выполнив вычитание в числителе:

$\frac{1}{R_3} = \frac{R_1 R_2 - R R_2 - R R_1}{R R_1 R_2}$

Наконец, чтобы найти $R_3$, "перевернем" обе части полученного уравнения:

$R_3 = \frac{R R_1 R_2}{R_1 R_2 - R R_2 - R R_1}$

Ответ: $R_3 = \frac{R R_1 R_2}{R_1 R_2 - R R_1 - R R_2}$