Номер 94, страница 31 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 1. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 94, страница 31.

Условие.

94. Сократить дробь:

1) $ \frac{2ab - b}{8a^3 - 1} $

2) $ \frac{27a^3 + b^3}{3ab + b^2} $

3) $ \frac{36c - c^3}{c^3 + 12c^2 + 36c} $

4) $ \frac{25b - 49b^3}{49b^3 - 70b^2 + 25b} $

5) $ \frac{2a^4 + 3a^3 + 2a + 3}{(a^2 - a + 1)(2a + 3)} $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

Дана дробь $\frac{2ab-b}{8a^3-1}$.

Для сокращения дроби необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.

В числителе вынесем общий множитель $b$ за скобки: $2ab - b = b(2a - 1)$.

Знаменатель представляет собой разность кубов. Используем формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$. В нашем случае $x=2a$ и $y=1$:

$8a^3 - 1 = (2a)^3 - 1^3 = (2a - 1)((2a)^2 + 2a \cdot 1 + 1^2) = (2a - 1)(4a^2 + 2a + 1)$.

Теперь подставим разложенные на множители выражения обратно в дробь:

$\frac{b(2a - 1)}{(2a - 1)(4a^2 + 2a + 1)}$

Сократим общий множитель $(2a - 1)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{b}{4a^2 + 2a + 1}$

Ответ: $\frac{b}{4a^2 + 2a + 1}$

2)

Дана дробь $\frac{27a^3 + b^3}{3ab + b^2}$.

Разложим числитель на множители, используя формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$. В данном случае $x=3a$ и $y=b$:

$27a^3 + b^3 = (3a)^3 + b^3 = (3a + b)((3a)^2 - 3a \cdot b + b^2) = (3a + b)(9a^2 - 3ab + b^2)$.

В знаменателе вынесем общий множитель $b$ за скобки: $3ab + b^2 = b(3a + b)$.

Подставим полученные выражения в дробь:

$\frac{(3a + b)(9a^2 - 3ab + b^2)}{b(3a + b)}$

Сократим общий множитель $(3a + b)$:

$\frac{9a^2 - 3ab + b^2}{b}$

Ответ: $\frac{9a^2 - 3ab + b^2}{b}$

3)

Дана дробь $\frac{36c - c^3}{c^3 + 12c^2 + 36c}$.

Разложим числитель на множители. Сначала вынесем за скобки общий множитель $c$: $c(36 - c^2)$. Затем применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$c(36 - c^2) = c(6^2 - c^2) = c(6 - c)(6 + c)$.

Разложим знаменатель на множители. Вынесем за скобки общий множитель $c$: $c(c^2 + 12c + 36)$. Выражение в скобках является полным квадратом. Используем формулу квадрата суммы $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$:

$c(c^2 + 2 \cdot c \cdot 6 + 6^2) = c(c + 6)^2$.

Подставим разложенные выражения в дробь:

$\frac{c(6 - c)(6 + c)}{c(c + 6)^2}$

Сократим общие множители $c$ и $(c+6)$:

$\frac{6 - c}{c + 6}$

Ответ: $\frac{6 - c}{c + 6}$

4)

Дана дробь $\frac{25b - 49b^3}{49b^3 - 70b^2 + 25b}$.

Разложим числитель на множители. Вынесем $b$ за скобки: $b(25 - 49b^2)$. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$b(5^2 - (7b)^2) = b(5 - 7b)(5 + 7b)$.

Разложим знаменатель на множители. Вынесем $b$ за скобки: $b(49b^2 - 70b + 25)$. Выражение в скобках является полным квадратом. Используем формулу квадрата разности $x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$:

$b((7b)^2 - 2 \cdot 7b \cdot 5 + 5^2) = b(7b - 5)^2$.

Подставим полученные выражения в дробь:

$\frac{b(5 - 7b)(5 + 7b)}{b(7b - 5)^2}$

Заметим, что $5 - 7b = -(7b - 5)$. Перепишем числитель: $\frac{-b(7b - 5)(5 + 7b)}{b(7b - 5)^2}$.

Сократим общие множители $b$ и $(7b - 5)$:

$\frac{-(5 + 7b)}{7b - 5} = \frac{5 + 7b}{-(7b - 5)} = \frac{5 + 7b}{5 - 7b}$

Ответ: $\frac{5+7b}{5-7b}$

5)

Дана дробь $\frac{2a^4 + 3a^3 + 2a + 3}{(a^2 - a + 1)(2a + 3)}$.

Разложим числитель на множители методом группировки:

$2a^4 + 3a^3 + 2a + 3 = (2a^4 + 3a^3) + (2a + 3) = a^3(2a + 3) + 1(2a + 3) = (a^3 + 1)(2a + 3)$.

Теперь разложим множитель $(a^3 + 1)$, используя формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$:

$a^3 + 1 = a^3 + 1^3 = (a + 1)(a^2 - a \cdot 1 + 1^2) = (a + 1)(a^2 - a + 1)$.

Таким образом, числитель равен $(a + 1)(a^2 - a + 1)(2a + 3)$.

Подставим разложенный числитель обратно в дробь:

$\frac{(a + 1)(a^2 - a + 1)(2a + 3)}{(a^2 - a + 1)(2a + 3)}$

Сократим общие множители $(a^2 - a + 1)$ и $(2a + 3)$:

$a+1$

Ответ: $a+1$