Номер 95, страница 31 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 1. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 95, страница 31.

Условие.

95. Выполнить действия:

1) $ \frac{a+1}{a^3-1} - \frac{1}{a^2+a+1} $

2) $ \frac{a^2+4}{a^3+8} - \frac{1}{a+2} $

3) $ \frac{a+b}{a^2-ab+b^2} - \frac{1}{a+b} $

4) $ \frac{m^2-3m+9}{m^3-27} - \frac{1}{m-3} $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) $\frac{a+1}{a^3-1} - \frac{1}{a^2+a+1}$
Для выполнения вычитания дробей необходимо привести их к общему знаменателю.
Разложим знаменатель первой дроби на множители, используя формулу разности кубов $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$:
$a^3-1 = (a-1)(a^2+a \cdot 1+1^2) = (a-1)(a^2+a+1)$.
Как видим, знаменатель второй дроби является частью разложения знаменателя первой. Таким образом, общий знаменатель — это $a^3-1 = (a-1)(a^2+a+1)$.
Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для второй дроби равен $(a-1)$.
$\frac{a+1}{(a-1)(a^2+a+1)} - \frac{1 \cdot (a-1)}{(a^2+a+1)(a-1)} = \frac{a+1-(a-1)}{(a-1)(a^2+a+1)}$
Упростим числитель:
$a+1-a+1 = 2$.
В результате получаем:
$\frac{2}{(a-1)(a^2+a+1)} = \frac{2}{a^3-1}$.
Ответ: $\frac{2}{a^3-1}$.

2) $\frac{a^2+4}{a^3+8} - \frac{1}{a+2}$
Для приведения дробей к общему знаменателю разложим знаменатель первой дроби на множители, используя формулу суммы кубов $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$:
$a^3+8 = a^3+2^3 = (a+2)(a^2-2a+4)$.
Общий знаменатель — это $a^3+8 = (a+2)(a^2-2a+4)$.
Домножим числитель и знаменатель второй дроби на дополнительный множитель $(a^2-2a+4)$:
$\frac{a^2+4}{(a+2)(a^2-2a+4)} - \frac{1 \cdot (a^2-2a+4)}{(a+2)(a^2-2a+4)} = \frac{(a^2+4)-(a^2-2a+4)}{(a+2)(a^2-2a+4)}$
Упростим числитель, раскрыв скобки:
$a^2+4-a^2+2a-4 = 2a$.
В результате получаем:
$\frac{2a}{(a+2)(a^2-2a+4)} = \frac{2a}{a^3+8}$.
Ответ: $\frac{2a}{a^3+8}$.

3) $\frac{a+b}{a^2-ab+b^2} - \frac{1}{a+b}$
Приведем дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем будет произведение знаменателей $(a^2-ab+b^2)(a+b)$. Это выражение соответствует формуле суммы кубов $a^3+b^3$.
Дополнительный множитель для первой дроби равен $(a+b)$, а для второй — $(a^2-ab+b^2)$.
$\frac{(a+b)(a+b)}{(a^2-ab+b^2)(a+b)} - \frac{1 \cdot (a^2-ab+b^2)}{(a+b)(a^2-ab+b^2)} = \frac{(a+b)^2 - (a^2-ab+b^2)}{a^3+b^3}$
Раскроем скобки в числителе. Для $(a+b)^2$ используем формулу квадрата суммы:
$\frac{(a^2+2ab+b^2) - (a^2-ab+b^2)}{a^3+b^3} = \frac{a^2+2ab+b^2-a^2+ab-b^2}{a^3+b^3}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$a^2-a^2+2ab+ab+b^2-b^2 = 3ab$.
В результате получаем:
$\frac{3ab}{a^3+b^3}$.
Ответ: $\frac{3ab}{a^3+b^3}$.

4) $\frac{m^2-3m+9}{m^3-27} - \frac{1}{m-3}$
Разложим на множители знаменатель первой дроби, используя формулу разности кубов $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$:
$m^3-27 = m^3-3^3 = (m-3)(m^2+3m+9)$.
Общий знаменатель — это $m^3-27 = (m-3)(m^2+3m+9)$.
Приведем вторую дробь к общему знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на дополнительный множитель $(m^2+3m+9)$:
$\frac{m^2-3m+9}{(m-3)(m^2+3m+9)} - \frac{1 \cdot (m^2+3m+9)}{(m-3)(m^2+3m+9)} = \frac{(m^2-3m+9)-(m^2+3m+9)}{(m-3)(m^2+3m+9)}$
Упростим числитель, раскрыв скобки:
$m^2-3m+9-m^2-3m-9 = -6m$.
В результате получаем:
$\frac{-6m}{(m-3)(m^2+3m+9)} = -\frac{6m}{m^3-27}$.
Ответ: $-\frac{6m}{m^3-27}$.