Номер 91, страница 31 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 1. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 91, страница 31.

Условие.

91. Два оператора, работая вместе, набирают рукопись за $a$ часов.

Один из них мог бы выполнить эту работу за $b$ часов.

За какое время мог бы набрать рукопись другой оператор?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи воспользуемся понятием производительности труда. Пусть весь объем работы по набору рукописи равен 1.

Пусть $v_1$ — производительность первого оператора, а $v_2$ — производительность второго оператора. Производительность — это объем работы, выполняемый за единицу времени (в данном случае, за час).

По условию, один из операторов (назовем его первым) может выполнить всю работу за $b$ часов. Его производительность равна:

$v_1 = \frac{1}{b}$ (часть рукописи в час)

Два оператора, работая вместе, набирают рукопись за $a$ часов. Их общая производительность $v_{общ}$ равна:

$v_{общ} = \frac{1}{a}$ (часть рукописи в час)

Общая производительность при совместной работе равна сумме производительностей каждого оператора:

$v_{общ} = v_1 + v_2$

Подставим известные значения в это уравнение:

$\frac{1}{a} = \frac{1}{b} + v_2$

Из этого уравнения выразим производительность второго оператора $v_2$:

$v_2 = \frac{1}{a} - \frac{1}{b}$

Чтобы выполнить вычитание, приведем дроби к общему знаменателю $ab$:

$v_2 = \frac{b}{ab} - \frac{a}{ab} = \frac{b-a}{ab}$

Теперь, зная производительность второго оператора, мы можем найти время $t_2$, которое ему потребуется для выполнения всей работы (объемом 1). Время равно отношению объема работы к производительности:

$t_2 = \frac{1}{v_2} = \frac{1}{\frac{b-a}{ab}}$

Чтобы разделить 1 на дробь, нужно "перевернуть" эту дробь:

$t_2 = \frac{ab}{b-a}$

Заметим, что для того чтобы задача имела смысл, время $t_2$ должно быть положительным. Так как $a$ и $b$ — это время, они положительны. Следовательно, знаменатель $b-a$ также должен быть положительным, что означает $b > a$. Это логично, так как время выполнения работы одним оператором должно быть больше, чем время выполнения той же работы двумя операторами вместе.

Ответ: Другой оператор мог бы набрать рукопись за $\frac{ab}{b-a}$ часов.